Контрольная работа по "ЛЛинейной алгебре"

1. Перемножить матрицы, если это возможно.

А= и .

1	-2	-19
0	-3	10

Решение.

Матрица А= 

5	-3
-5	11
4	-6

 

Матрица В = 

 

(1•5)+(-2•(-5))+(-19•4)	(1•(-3))+(-2•11)+(-19•(-6))
(0•5)+(-3•(-5))+(10•4)	(0•(-3))+(-3•11)+(10•(-6))

-61	89
55	-93

 

Матрица A и B

 

 

 

 2.Вычислить ранг матрицы.

     

Решение.

	-1	-5	4
	0	3	12
	7	4	15

 

1-ую строку делим на -1

	1	5	-4
	0	3	12
	7	4	15

 

от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженую соответственно на 7

	1	5	-4
	0	3	12
	0	-31	43

 

2-ую строку делим на 3

	1	5	-4
	0	1	4
	0	-31	43

 

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженую соответственно на 5; -31

	1	0	-24
	0	1	4
	0	0	167

 

3-ую строку делим на 167

	1	0	-24
	0	1	4
	0	0	1

 

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженую соответственно на -24; 4

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

 

 
Ответ. Так как ненулевых строк 3, то ранг(A) = 3.

 

3.Вычислить  определитель матрицы методом  разложения по строке или столбцу  и методом треугольников.

 

Решение.                                                                                                                                     Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

10•(-3)•7 - 10•1•(-1) - 2•21•7 + 2•0•(-1) + 0•21•1 - 0•0•(-3) = -494

                          

 

 

 

 

 

 

 

4.Решить однородную СЛУ.

    

 

Решение.

Приведем матрицу к  треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение  строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение  уравнения на это же число и  сложение с другим уравнением, что  не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

В матрице B 2-й столбец равен нулю. Удаляем его. Для системы это означает перенос членов с x₂ в правую часть уравнений.

 

Умножим 2-ую строку на (7). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Найдем ранг матрицы.

 

Выделенный минор имеет  наивысший порядок (из возможных  миноров) и отличен от нуля (он равен  произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно ранг(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при  неизвестных x₁,x₃, значит, неизвестные x₁,x₃ – зависимые (базисные), а x₂ – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

 

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

29x₃ = 0

7x₁ - 2x₃ = 0

Методом исключения неизвестных  находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₃ через свободные x₂, то есть нашли общее решение:

x₃ = 0

x₁ = 0

5.Решить  систему линейных уравнений методами  Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы.

    

 

Решение.

 

Медод Крамера.

                                                                                                                                                                                                      Запишем систему в виде:

 

B^T = (2,0,-5)

Главный определитель:

∆ = 2 • ( • -(-2 • 2))- • (4 • -(-2 • (-3)))+3 • (4 • 2- • (-3)) = 32 = 32

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 2 • ( • -(-2 • 2))-0 • (4 • -(-2 • (-3)))+(-5 • (4 • 2- • (-3))) = -32

 

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.                                                                                                                 ∆₂ = 2 • (0 • -(-5 • 2))- • (2 • -(-5 • (-3)))+3 • (2 • 2-0 • (-3)) = 32

                                                                                                                                                                         Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • ( • (-5)-(-2 • 0))- • (4 • (-5)-(-2 • 2))+3 • (4 • 0- • 2) = 0

 

Выпишем отдельно найденные переменные Х

 

 

 

Проверка.

2•-1+4•1+-3•0 = 2

•-1+•1+2•0 = 0

3•-1+-2•1+•0 = -5

 

Решение методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Теперь исходную систему  можно записать как:

x₃ = 0/2

x₂ = [16 - ( - 9x₃)]/16

x₁ = [-5 - ( - 2x₂)]/3

Из 1-ой строки выражаем x₃

 

Из 2-ой строки выражаем x₂

 

Из 3-ой строки выражаем x₁

 

 

 

 

 

 

 

 Решение методом обратной матрицы.   

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

 

Вектор B:

B^T=(2,0,-5)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает  следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=2•(•-(-2•2))-•(4•-(-2•(-3)))+3•(4•2-•(-3))=32

Итак, определитель 32 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

 

Тогда:

 

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица

 

Вычисляем алгебраические дополнения.

 

∆_1,1=(•-2•(-2))=4

 

∆_1,2=-(4•-(-3•(-2)))=6

 

∆_1,3=(4•2-(-3•))=8

 

∆_2,1=-(•-2•3)=6

 

∆_2,2=(2•-(-3•3))=9

 

∆_2,3=-(2•2-(-3•))=-4

 

∆_3,1=(•(-2)-•3)=0

 

∆_3,2=-(2•(-2)-4•3)=16

 

∆_3,3=(2•-4•)=0

Обратная матрица

 

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

 

 

 

X^T=(-1,1,0)

x₁=^-32 / ₃₂=-1

x₂=³² / ₃₂=1

x₃=⁰ / ₃₂=0

Проверка.

2•-1+4•1+-3•0=2 ,    •-1+•1+2•0=0 ,    3•-1+-2•1+•0=-5.