Контрольная работа по "Математический анализ"

№28

В треугольнике A₁A₂A₃ найти уравнения медианы, высоты, проведенных из вершины А₁ и координаты точки их пересечения. Вычислить длину найденной высоты.

A₁(-3,-5),A₂(2,-2),A₃(1,0)

Решение:

Пусть А₁Н – высота, а А₁М – медиана, проведенные из вершины А₁.

Так как медиана А₁М делит противолежащую сторону A₂A₃ пополам, то координаты точки М можно найти по следующим формулам

_{Найдем  уравнение прямой А1М, подставив координаты точек А1 и М в уравнение прямой, проходящей через 2 точки:}

    _или

_{Вектор  А2А3 имеет координаты}

_{Уравнение прямой, проходящей через точку  (x0,y0) перпендикулярно вектору}

имеет вид 

_{Найдем  уравнение высоты A1H как уравнение прямой, проходящей через точку A1(-3,-5) перпендикулярно вектору A2A3(-1,2)}

_{Найдем  уравнение прямой А2А3, подставив координаты А2 и А3 в уравнение прямой, проходящей через 2 точки:}

_Или

_{Длину высоты А1Н найдем как расстояние от точки А1 до прямой А2А3:}

_{Так как высота А1Н и медиана А1М выходят из одной вершины, то их точка пересечения – А1. В этом можно убедиться решив систему из уравнений, задающих прямые А1Н и А1М.}