Контрольная работа по "Математическому анализу"

Решение варианта 9

 

1. К №1: Найти А*В и В*А

; .

Решение:

А*В = * = = =

=

В*А = * = = =

Ответ: ; .

2. К №2: Найти В = и

.

Решение:

В = = * + 3* - 4* =

= + 3* -

= +

 - = + - =

= =

det A = = 3*(4*(-3) - 2*5) - (-1)*(1*(-3) - 5*0) + 4*(1*2 - 4*0) = 3*

(-12 - 10) + 1*(-3 - 0) + 4*(2 - 0) = 3*(-22) + 1*(-3) + 4*2 = -66 -3 + 8 = -61

М₁₁ = = 4*(-3) – 2*5 = -12 – 10 = -22

М₁₂ = = 1*(-3) – 5*0 = -3 – 0 = -3

М₁₃ = = 1*2 – 4*0 = 2 – 0 = 2

М₂₁ = = (-1)*(-3) – 2*4 = 3 – 8 = -5

М₂₂ = = 3*(-3) – 0*4 = -9 – 0 = -9

М₂₃ = = 3*2 – (-1)*0 = 6 – 0 = 6

М₃₁ = = (-1)*5 – 4*4 = -5 – 16 = -21

М₃₂ = = 3*5 – 4*1 = 15 – 4 = 11

М₃₃ = = 3*4 – (-1)*1 = 12 + 1 = 13

= * = *

= * =

= * =

Ответ: ; .

3. К №3: Решить систему уравнений способами Крамера, обратной матрицы и методом Гаусса.

; .

Решение:

Способ Крамера:

Δ = = 2*(2*2 – (-1)*(-4)) – 3*(4*2 – (-1)*3) + (-3)*(4*(-4) – 2*3) =

= 2*(4 - 4) – 3*(8 + 3) – 3*(-16 - 6) = 2*0 – 3*11 - 3*(-22) = 0 – 33 + 66 = 33

Δ₁ = = (-1)*(2*2 – (-1)*(-4)) – 3*(9*2 – (-1)*4) + (-3)*(9*(-4) –

2*4) = (-1)*(4 - 4) – 3*(18 + 4) – 3*(-36 - 8) = = (-1)*0 – 3*22 - 3*(-44) = 0 –

66 + 132 = 66

Δ₂ = = 2*(9*2 – (-1)*4) + 1*(4*2 – (-1)*3) + (-3)*(4*4 – 9*3) = 2*

(18 + 4) + 1*(8 + 3) – 3*(16 - 27) = 2*22 + 1*11 - 3*(-11) = 44 + 11 + 33 = 88

Δ₃ = = 2*(2*4 – 9*(-4)) – 3*(4*4 – 9*3) + (-1)*(4*(-4) – 2*3) = 2*

(8 + 36) – 3*(16 - 27) – 1*(-16 - 6) = 2*44 – 3*(-11) - 1*(-22) = 88 + 33 + 22 =

143

х₁ = = 2

х₂ = = = 2

х₃ = = = 4

Х =

Способ обратной матрицы:

det A = 33

М₁₁ = = 2*2 – (-1)*(-4) = 4 – 4 = 0

М₁₂ = = 4*2 – (-1)*3 = 8 + 3 = 11

М₁₃ = = 4*(-4) – 2*3 = -16 - 6 = -22

М₂₁ = = 3*2 – (-3)*(-4) = 6 – 12 = -6

М₂₂ = = 2*2 – (-3)*3 = 4 + 9 = 13

М₂₃ = = 2*(-4) – 3*3 = -8 – 9 = -17

М₃₁ = = 3*(-1) – (-3)*2 = -3 + 6 = 3

М₃₂ = = 2*(-1) – (-3)*4 = -2 + 12 = 10

М₃₃ = = 2*2 – 3*4 = 4 - 12 = -8

= * = *

= * =

* = =

Х = *В = * = = =

= = = =

Метод Гаусса:

= =

= = =

= = =

= = =

= =

Х =

Ответ: Х =

4. К №8: Найти для медианы АМ и высоты СН треугольника АВС, их длины, их уравнения, угол между ними и их точку пересечения.

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

М( ; )

М( ; )

М( ;1)

= = = = = =

Уравнение прямой АМ:

=

=

=

= -

2(х – 1) = -3(у - 2)

2х + 3у – 2 – 6 = 0

2х + 3у – 8 = 0

Уравнение прямой АВ:

=

=

0(х – 1) = 1(у – 2)

у – 2 = 0

Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ:

а*0 + b*1 = 0

b = 0

Пусть а = 1

х + с = 0

Уравнение прямой СН: прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку С:

3 + с = 0

с = -3

х – 3 = 0

Координаты точки Н: точки пересечения  двух прямых АВ и СН:

Н(3;2)

= = = = = 2

Угол между прямыми  АМ и СН:

tg (∟АОН) = = = = 1,5

∟АОН = arctg(1,5) = 56,30993247° ≈ 56,3°

Координаты точки О: точки пересечения  двух прямых АМ и СН:

О(3; )

Ответ: = ; = 2; АМ: 2х + 3у – 8 = 0; СН: х – 3 = 0; ∟АОН ≈ 56,3°; О(3; ).

5. К №9: Найти: 1) Расстояние от данной точки до данной прямой.

2) Угол между данной прямой и данной плоскостью.

3) Угол между данной  плоскостью и плоскостью, проходящей  через данную точку и данную  прямую.

4) Плоскость, проходящую  через данную прямую, перпендикулярно  данной плоскости.

Решение:

1) Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой = = и проходящей через точку А (-5;0;1):

-1*(х – (-5)) + (-2)*(у  - 0) + 2*(z - 1) = 0

-1*(x + 5) – 2у +2z – 2 = 0

-х – 5 – 2у +2z – 2 = 0

-х – 2у +2z – 7 = 0

х + 2у – 2z +7 = 0

Точка пересечения прямой = = и плоскости х + 2у – 2z +7 = 0:

(-1 ; -2 ; - )

Расстояние от точки А до точки (-1 ; -2 ; - ):

d = = =

= = = =

= = = = = = 4,714045208 ≈

≈ 4,7

2) Угол между прямой = = и плоскостью х + 4у + 8z = 0:

sin φ = = = =

= = = 0.259259259

φ = 15,02611376° ≈ 15°

3) Точка В, принадлежающая прямой = = :

В(0;0;-3)

Вектор АВ:

АВ(0 – (-5); 0 – 0; -3 – 1)

АВ(5;0;-4)

Точка С(х;у;z) принадлежит плоскости, проходящей через точку А и прямую = = .

Вектор АС:

АС(х – (-5); у – 0; z – 1)

АС(х + 5; у; z – 1)

Векторы АВ, АС и (-1; -2; 2) компланарны. Поэтому:

= 0

= (х + 5)*(0*2 – (-4)*(-2)) - у*(5*2 – (-4)*(-1)) + (z – 1)*(5*(-2) – 0*(-1)) = (х + 5)*(0 – 8) - у*(10 – 4) + (z – 1)*(-10 – 0) = -8(х + 5) - 6у - 10(z – 1) = -8х – 40 – 6у – 10z + 10 = -8х – 6у – 10z – 30

-8х – 6у – 10z – 30 = 0

8х + 6у + 10z + 30 = 0

4х + 3у + 5z + 15 = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку А и прямую = = .

Угол между плоскостью х + 4у + 8z = 0 и плоскостью 4х + 3у + 5z + 15 = 0, проходящей через точку А и прямую = = :

cos a = = = =

= = = = 0,879955105

a = 28,3630517° ≈ 28,4°

4) Условие перпендикулярности плоскостей Ах + Ву + Сz + D = 0 и х + 4у + 8z = 0:

1*А + 4*В + 8*С = 0

А + 4В + 8С = 0

Точка В, принадлежающая прямой = = :

В(0;0;-3)

Точка пересечения прямой = = и плоскости х + 4у + 8z = 0:

Плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0, проходящую через точку В(0;0;-3) и точку , перпендикулярно плоскости х + 4у + 8z = 0:

Пуст С = 1, тогда:

12х – 5у+z + 3 = 0

Ответ: 1) ; 2) sin φ = , φ ≈ 15°; 3) cos a = , a ≈ 28,4°; 4) 12х – 5у+z + 3 = 0

6. К №12: Написать канонические уравнения и сделать чертёж линий.

Решение:

а) х² – 9у² – 4 = 0

 - гипербола

Асимптоты гиперболы:

у = ±

у = ±

Точки пересечения с  осью х: (-2;0) и (2;0).

б) х² + у² – 4х – 6у +12 = 0

(х² – 4х) + (у²– 6у) +12 = 0

(х² – 4х + 4 - 4) + (у²– 6у + 9 - 9) +12 = 0

(х – 2)² - 4 + (у – 3)² - 9 +12 = 0

(х – 2)² + (у – 3)² - 1 = 0

(х – 2)² + (у – 3)² = 1 – окружность

Радиус окружности = 1

Центр окружности: (2;3)

в) 9х² + 4у² – 35 = 0

х² + у² – 1 = 0

 - эллипс

Точки пересечения с  осью х: (- ;0) и ( ;0).

Точки пересечения с  осью y: (0;- ) и (0; ).

Ответ: а) - гипербола; б) (х – 2)² + (у – 3)² = 1 – окружность; в) - эллипс.