Контрольная работа по "Математическому анализу"

Вариант 10(э)

 

1. Найти предел:

Решение:

- неопределенность.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми величинами: при .

Тогда:

.

 

Ответ: .

 

 

2. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (0; 3) и (1; 7). Сделать чертёж.

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки  можно записать как . Тогда уравнение прямой, проходящей через точки (0; 3) и (1; 7) имеет вид:

 или 

Касательная прямая, перпендикулярная прямой , имеет вид , где С – некая константа.

С другой стороны  уравнение касательной к кривой в точке (х₀; у₀) имеет вид:

Для заданной функции  производная и тогда из равенства получаем Получили две точки, касательная к которым будет удовлетворять требуемым условиям.

1) и подставляя точки в уравнение касательной получаем откуда и окончательное уравнение .

2) и подставляя точки в уравнение касательной получаем откуда и окончательное уравнение .

Выполним чертеж:

Ответ: и .

 

 

3. Исследовать функцию и построить схематично её график.

Решение:

1) Область  определения функции  .

2) Четность, периодичность:  , т.е. функция общего вида, не периодическая.

3) Пересечение  с осями:

с осью ОY: x = 0  , т.е. точка (0; -5).

с осью OX: y = 0 , т.е. точка (5; 0).

4) Асимптоты  и поведение на бесконечности:

Наклонные асимптоты: y = kx + b, где  b =

т.е. существует горизонтальная асимптота  y = 0 при .

5) Поведение возле точки разрыва:  точек разрыва нет.

6) Критические точки:

Найдем производную функции  y и решим уравнение y´ = 0.

т.е. точка (5,5; ) – критическая точка, а именно точка максимума, т.к. при - функция возрастает, а при - функция убывает.

7) Точки перегиба:

Найдем вторую производную функции  y и решим уравнение y´´ = 0.

Т.е. точка (6; ) – точка перегиба

х		6
у''	-	0	+
y	вогнутая	перегиб	выпуклая

8) Построим график функции:

 

4. Найти неопределенный интеграл: .

Решение:

Выполним  замену , тогда и получаем:

, где С – произвольная константа.

 

Ответ: .

 

 

5. Решить дифференциальное уравнение:

Решение:

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:

Проинтегрируем обе части равенства:

Возьмём оба интеграла:

Таким образом:

- общее решение исходного  уравнения, где С – произвольная  константа.

Ответ: .

 

 

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

,

Решение:

Изобразим на координатной плоскости заданную фигуру:

Абсциссу точки пересечения кривой и прямой найдём из уравнения , т.е. .

Тогда искомая площадь фигуры будет равна:

 кв.ед.

Ответ: кв.ед.

 

 

7. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

	1	1,5	2	2,5	3
	2,2	3,9	5,8	8,8	12,3

В результате их выравнивания получена функция  . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение:

Для линейной регрессии  система нормальных уравнений имеет следующий вид:

Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:

   

  

Нормальная система уравнений  примет вид:

 откуда 

Таким образом, линейная аппроксимация  имеет вид 

 

Изобразим на координатной плоскости  исходные точки, а также линии их выравнивания:

 

Выясним, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные  данные. Для этого вычислим сумму  квадратов разностей между точными  и аппроксимирующими значениями функции. Расчеты произведем в таблице:

1	2,2	1,58	0,3844	2	0,04
1,5	3,9	4,09	0,0361	3,75	0,0225
2	5,8	6,6	0,64	6	0,04
2,5	8,8	9,11	0,0961	8,75	0,0025
3	12,3	11,62	0,4624	12	0,09
Сумма:			1,619		0,195

По результатам видим, что в  смысле метода наименьших квадратов  приближение  более точное, чем , поскольку .

 

Ответ: .