Контрольная работа по "Математическому анализу"

 

 

Вариант №1

 

Задание № 111

Найти неопределенные интегралы. Результат проверить  дифференцированием.

А)

1)произведем замену переменной: u = 4 – x², тогда мы имеем

2)выносим константу за  знак интеграла 

3) после произведения операции замены переменной  u = u*1² и du = - 2 xdx  мы имеем:

-

4) проинтегрировав константу и сделав обратную замену мы получим

= - + C

Проверка: (- + C)’ =-()’ +(C)’ = =

Б) dx

1) произведем замену под  знаком интеграла ()

Тогда мы получим: ^{= >}

 

2)по таблице интегралов  мы имеем   = log(u) + const =>

dx = log(x² – x + 1) + C

 Проверка: (log(x² – x + 1) + C)’ = (log (x² – x + 1))’ +( C)’= ⁼

В)

Так как мы имеем формулы , то разобьем функцию под знаком интеграла на части

u= log(x);    v = ;

du = dx;     dv = dx

по таблице интегралов мы имеем: есть ; тогда

*log(x) - + const =>

=x^6/5(6 log(x) – 5) + const

Проверка: ( *log(x) - + const)’= *log(x))’-()’+(C)’=[()’+)*(logx)’] - *x^1/5=

=*x^1/5 * logx +)* - x^1/5 =

Задание № 121

Найдите неопределенные интегралы:

А)

Здесь имеет место интегрирование правильно-рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию но простейшие рациональные дроби:

= = = ++

Используя таблицу интегралов получим:

= -3 +3 +3= -3ln + 3ln|x+2| + 3ln|x-1|+C= 3ln||+ + C = 3ln|| +C

=3ln|| +C

Б)

Произведем замену переменной: x = t⁴; ³*dt; t=; тогда:

*4*t³*dt=*⁸-t⁴)dt=*(t⁹ -t⁵) + C = *( -^{) + C =} **(x² --x) + C

**(x² --x) + C

В)

Данное выражение содержит тригонометрическую функцию. Произведем замену:

t= tgx;   x=arctgx;   dx= ; тогда:

 

Выпишем подынтегральную функцию и разложим её на простейшие дроби:

 

, 
 

 

 

 

 

Задание № 131

Вычислить объем  тела вращения, образованного вращением  вокруг оси ординат фигуры, расположенной  в первой четверти и ограниченной линиями:

Y = 2 – x²; Y = x; X = 0;

 

 

1. Построим  фигуру вращения.         Из рисунка видно, что данная фигура разбивается на две, и объём тела вращения равен сумме объемов :       V=V₁+V₂Составим систему уравнений:
2. Интервалы интегрирования y[0; 1][1;2]. Применим формулу объема V = dy
3. Тогда мы имеем:

Объем данного тела вращения равен 

 

 

Задание № 141

Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость.

dx

dx = -d(-)= - |₀^{бесконечность} = - + = - *0 + =