Контрольная работа по "Математическому анализу"

1. Исследовать функцию методами дифференцированного исчисления и построить ее график.

 

Решение:

 

 

Находим область определения функции:

Функция  не имеет точек разрыва. 

Проверяем является ли функция чётной или нечётной

Функция является четной

Находим точки пересечения графика  с осями координат.

Положим и получим:

Точка пересечения графика с  осью .   

   Положим _. Точки пересечения графика с осью Ox .   

Находим вертикальные и наклонные  асимптоты графика функции.

Вертикальных асимптот нет

 

Вычисляем сначала пределы при  :

 

Наклонная асимптота 

 

Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого  находим первую производную функции: 

 и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

Точек,  в которых не существует нет. Таким образом, внутренними критическими стационарными) точками функции является точка x=0

 

   Исследуем знак производной  в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

	+	-
	возрастает	убывает

Так как при переходе слева направо через точки знаки меняются, то x=0 – точка максимума

 

Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика  функции. Для этого находим вторую производную функции:

 

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: _- нет таких точек; существует при всех x

Таким образом, функция    имеет точки возможного перегиба .

   Исследуем знак второй  производной  в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

 

 

	+	-	+

 

Точки - точки перегиба.

На основании полученных результатов  строим график функции: 

 

 

 

 

2. Вычислит указанные неопределенные интегралы:

           а)     b)         c)

 

Решение:

 

           а)    

b)        

Применим замену:

Получим:

 

c)

Проинтегрируем по частям:

 

 

 

 

 

 

3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями  и ,                                                     cделать чертеж. ,

 

Решение:

 

 

Площадь фигуры:

 

4. Найти экстремум функции        где , ,

 

Решение:

 

Получили точку M (-1; -1)