Контрольная работа по "Математике"

 

        МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

«Тихоокеанский государственный  университет»

 

Кафедра «Прикладной математики».

Специальность «Экономика».

 

 

Контрольная работа.

По дисциплине «Математика (ПМ)»

Вариант № 2.

 

 

 

                                                                                                       Выполнила: студентк

Шифр зач.кн.

Фамилия:

Имя:

Отчество:

Проверил: __________

___________________

 

                                                          Хабаровск  2012 год.

 

 

Задание 1.

Выполнить действия с матрицами и найти матрицу  Х.

 

х=А^т-13А^-1+ВС, если А=, В=, С=

Решение:

1. Найдем произведение матриц ВС.

 

ВС==

2. Найдем А^-1

Если det = 0, то А^{-1 T}

    А 

Det А= 301+2(-1)2+121-201-322-(-1)11=0-4+2-0-12+1=-13

Так как  det А =0, то матрица А^-1 существует.

найдем алгебраическое дополнение ко всем элементам матрицы А.

А₁₁=(-1)¹⁺¹=1(01-22)=-4

А₁₂=(-1)¹⁺²=-1(-11-12)=3

А₁₃=(-1)¹⁺³=1(-12-10)= -2

А₂₁=(-1)²⁺¹= -1(11-22)=3

А₂₂=(-1)²⁺²=1(3-2) = 1

А₂₃=(-1)²⁺³=-1(6-1)= -5

А₃₁=(-1)³⁺¹=1(2-0)=2

А₃₂=(-1)³⁺²=-1(6+2)=-8

А₃₃=(-1)³⁺³=1(0+1)=1

А^-1=-

Сделаем проверку

АА^-1= = =

3. Найдем А^т

А^т=

 

4.

х= – 13+=

 

=++=+=

=

х=

 

Задание 2. Решить систему линейных уравнений тремя  способами:

а) по формулам Крамера;

б) матричным методом;

в) методом Гаусса.

 

а) по формуле Крамера.

=222+(-1)5(-3)+(-4)20-(0+20+8)=-5

= 4

 

=2

2

+(-1)

х₁=

х₂=

х₃=

б) матричный метод.

Определим совместимость  системы уравнений. По теории Кропелера-Конелли для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместима (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

А=

И ранг расширенной матрицы

В=    были равны.

Так как ранг =3 равен рангу =3 и равен количеству неизвестных n = 3, то система имеет единственное решение. Если ввести матричное обозначение:

А=, х=, С=, то х=А^-1С

Найдем обратную матрицу  А^-1

А^-1=

Для нахождения матрицы х  умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С.

 

Получили решение системы  уравнения.

х₁=10,6

х₂=-6,2

х₃=14

в) решение методом  Гаусса.

На первом этапе система  приводится к ступенчатому виду, путем  последовательного исключения переменных

                   

Исключим переменную х₁ из всех уравнений, за исключением первого.

Умножим коэффициент уравнения 2 на 2 и прибавим получившееся уравнение  уравнению 1.

 

Уравнение 1 не изменится  в данной системе; находим значение переменной х_3.

2

0          0         х₃ = 14

            5+2

Рассмотрим уравнение 3 последней  получившейся системы из данного  уравнения найдем значение переменной х₂;

5

5

х₂=

Рассмотрим уравнение 1 последней  получившейся системы. Подставим ранее  найденные значения х₂ и х₃ в уравнение 1.

2

2

2

2

х₁=

 

Задание 3. Вершины  пирамиды находятся в точках А,В,С  и D. Вычислить:

а) угол между рёбрами (векторами) АВ и АD;

б) площадь грани  АВС;

в) объем пирамиды АВСD;

г) высоту, опущенную  из вершины D на грань АВС.

А (1;3;1), В (-1;4;6), С (-2;-3;4), D (3;4;-4).

а) Пусть угол между ребрами АВ и АD. Скалярное произведение векторов АВ и АD запишется в следующем виде:

 Þ

Þ

  Þ

ÞÞα = arcos (- 0.9333)

 

б) площадь грани АВС будет вычисляться исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника АВС равна S=

 

 

 

=

S=

в) Объем пирамиды АВСD численно равен модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, то есть

 

+5

+5

г) Известно, что _пир=, где S – площадь основания, а h – высота пирамиды, опущенный из вершины А на грань АВСÞh=

 

Задание 4. Вычислить  пределы.

а)

поскольку при х функции

являются бесконечно малыми.

б)

в)

используем метод умножения  числителя  и знаменателя на сопряженное  выражение

 

=

=

=

г)

=

=

=

==

=

=

=

=

=

д)

=

=е

 

Задание 5. Найти  производные у’ данных функций.

а) у=

Решение:

 

=

б) arcsin 4х

=

Решение:

 

+

 

 

 

=

 

 

в) у’=

Решение:

 

 

=

=

=

=

г) у=ctg (

= -3

Решение:

 

=

 

д)

yx=?

 

x=

x_t^’=

y_t^’=(

 

 

Задание 6. Провести полное исследование функции и построить  ее график.

у=

Построим график функции.

х	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
у	3,14	3,28	3,42	3,55	3,66	3,77	3,86	3,93	3,98	4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у    -

4    -

3,9 -

3,8 -

3,7 -

3,6 -

3,5 -

3,4 -

3,3 -

3,2 -

3,1 -

   3   -  

2,9  -

       0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9    1    х

 

 

 

 

Исследуем функцию на промежутке (0;1).

Точка пересечения графика  функции с осью координат у:

 при х=0

 

у=3;точка (0;3)

Точка пересечения графика  функции с осью координат х:

График функции пересекает ось х при у=0

 

2

х=

х=

Точка пересечения: точка (;0); точка (;0).

Экстремумы функции.

Для того, чтобы найти  экстремумы, нужно решить уравнение  у’=0 и корни этого уравнения  будут экстремумами данной функции:

у’=

 

 

 

 

 

 

 

х=1;х=3

Экстремумы функции: точка (1;0); точка (3;0)

Четность и нечетность функции:

Проверим, функция четна или нечетна  с помощью соотношений  и

ложно

ложно

Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

х

у=

ОДЗ: х=2

у’=

=

y’=0ÞÞ

 

у’      0                 1   2   3     х

 

Функция на промежутке (0;1) увеличивается. Область определения функции (U(2;