Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 

1. Найти производные

 а) 

Воспользуемся формулой для  вычисления производной степенной  функции:

 

Приведем функцию к  виду xⁿ:

 

 

 

б)

Для вычисления воспользуемся  формулой:

 

где:

 

 

 

 

2. Исследовать и построить график функций :   у=-3  на [-1;3]

Решение.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может  достигать:

1) на концах отрезка  (т.е. при или );

2) в критических точках, если они существуют и принадлежат  .

Найдем критические точки.

Для этого найдем и решим уравнение .

 

 

 

 

Производная обращается в 0, при  х = 0 и х = 2

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка и в критических точках:

 

 

 

 

Определим знаки производной  функции на интервалах:

 

При – положительная, функция возрастает

При – отрицательная, функция убывает

При – положительная, функция возрастает

Построим график функции. Для этого используем значения у при ранее рассчитанных значениях х=-2, 0, 4, 6.

Дополнительно посчитаем  значение при x=1

 

 

3.   Найти предел 

 

Решение.

Числитель и знаменатель  дроби при  стремятся к нулю. В этом случае имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень. В данном примере это х³

 

Так как x стремится к бесконечности, то все дроби стремятся к нулю. Следовательно предел стремится к 0,1.

 

4. Найти

 

Воспользуемся правилом интегрирования функции :

 

 

5. Вычислить

 

Решение.

 

 

6. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями;            и    осью   0Х.

Решение.

Решение  начнем с чертежа  плоской фигуры на плоскости XOY.

Для линии  найдем точки пересечения с осью ОХ

Следовательно линия пересекает ось в точках 0 и 2. На промежутке (0;2) будем находить площадь фигуры.

Для более точного построения чертежа вычислим значения в точках: 0, 0.5, 1, 1.5, 2.

у(0)=0;  у(0,5)=2,25; у(1)=3; у(1,5)=2,25; у(2)=0

Площадь фигуры можно вычислить по формуле:

 

Где

Границы интегрирования [a;b] видны из чертежа. По оси Х границы функции f(x) ограничены значениями 0, 2. Таким образом подставляя в формулу для вычисления площади фигуры получаем:

 

7. Найти частное решение дифференциального уровня

 

если y = 2 при x = 1.

Решение.

Найдем общее решение. Проинтегрируем обе части уравнения:

 

 

 

Так как константа С не известна, то С₂ – С₁ примем за эту константу.

 

 

 

 

Чтобы найти частное решение  подставим заданное в условии  значение

 

 

Cледовательно: C = 2

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

8.  Карточки спорт-лото содержат 36 чисел, в тираже участвуют 5 чисел, какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа .

 Решение.

Обозначим событие А – событие произошло. Определим вероятность появления данного события. Для этого воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:

 

где

m – число исходов, при которых появляется событие А,

n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов.

Определим n. Количество случаев при которых можно угадать 5 чисел из 36.  Для вычисления всех возможных случаев воспользуемся формулой сочетания:

 

Где

 

В нашем случае a = 36 (количество чисел), b=5, (количество деталей, которые надо угадать из 36)

 

Определяем число m.

Для того чтобы произошло  событие А, должны произойти 2 события:

- А₁ -  из 5 угаданных чисел 4 угадано числа;

- А₂ -  из оставшихся 32 чисел 1 число не угадано.

По формуле сочетания  считаем m₁ и m₂, для каждого события:

 

 

Так как должны произойти  оба события, следовательно m₁ и m₂ нужно перемножить. Таким образом получим значение m :

 

Окончательно: