Контрольная работа по "Математике"

Контрольная  работа по математике (вариант 13)

1. Найти и функции:

а)  z=+ln(

= *()+=

= *(-)+= -+= - = - 

 

б) z=

= *2x=

= *2y=

 

2. Найти производную функции z= в точке (4;1) в направлении от этой точки к точке (5;1)

Найдем частные производные:

=

=

Найдем их значения в точке (4;1):

=2+3=5; =16+3+12=31

Найдем вектор: 

||=

Решение ищем в форме: =+

===1;

Подставляем полученные значения:

=5*1+31*0=5

Ответ: 5.

 

3. Исследовать на экстремум  z=

Находим первые производные:

=

Зная, что  и производные постоянных чисел равны 0, получим:

= 2x+y-13

Далее =

Зная, что  и производные постоянных чисел равны 0, получим:

=x+2y-11

Находим критические точки:

 

Находим вторые производные:

; =1; =2

Т.е. А=2, В=1, С=2

АС-=4-1=30 соответственно в данной точке функция имеет минимум (т.к. А), причем

 

(при x=5, y=3)

Ответ:

 

2) Вычислить неопределенные  интегралы.

а)

Произведем замену t=. Тогда dt=, , 

 

Произведя обратную замену, получим:

=2

 

б) = 4= 4=

= 4= 4tgx+ctgx+C

 

в) = = 5=

*Преобразовываем интеграл . Пусть f=x, df=dx, dg=, g=.

Используем формулу: *

= 5()+3

= -=

 

г)

Преобразуем подкорневое выражение методом выделения полного квадрата:

=16())= 16()=

= 16())= 16()

= == +C=

 

д) =

*Используем формулу:

, принимая a=5x, b=3x*

=

*Производим замену u=2x, du=2dx dx=du/2, v=8x, dv=8dx dx=dv/2.*

=

= -+C= =

 

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

, 2x+2y-3=0.

Построим графики функций:

 

 

Найдем точки пересечения:

 

D=4+12=16,

Для нахождения площади фигуры используем формулу:

S=

Зная, что прямая, заданная функцией , располагается на графике выше:

S=

= ()=()-()= ()

Ответ:

 

4) Решить уравнения.

а) , если y= при x=

()dy=()dx

-ln(cosy) = - ln(cosx)+C – непостоянное решение

Найдем частное решение:

-ln(cos = - ln(cos)+C

Знаем, что cos = -1, получим:

-ln(-1) = - ln(-1)+C C=ln(-1) – ln(-1) C=0.

Таким образом, -ln(cosy) = -ln(cosx) –частное решение.

 

б) =0

Решаем уравнение Бернулли:

 

Вычитаем с обеих сторон:

/ Делим обе стороны на х:

 

Пусть v(x)= и =-x

Пусть a(x)=exp(=x

Умножим обе стороны на а(х):

 

Заменим 1=

Применим обратное правило () к левой стороне равенства:

 

Интегрируем обе стороны:

 

Разделим обе стороны  на а(х)=х:

v(x)=

v(x) у нас равно

 

в)

 

Пусть а(х)=exp()=

Умножим обе стороны на а(х):

 

Применим обратное правило () к левой стороне равенства:

 

Интегрируем обе стороны  относительно х:

 

Разделим обе стороны  на а(х)=. Получим:

 

 

г)

Составим характеристическое уравнение:

 

 D=16-20=-4

 

Далее

y(x)=

Воспользуемся формулой:

 

+i()

 

 

Подставляя 

Таким образом: