Контрольная работа по "Математике"

В-1

1

Билетов кратных 3 из 35 равно 11 (35/3=11,7).

Вероятность того, что 1 из 35 билетов  кратно 3 равно А=11/35=0,314.

 

2

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности  появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Початок кукурузы имеет 12 рядов»

А2 = «Початок кукурузы имеет 14 рядов»

В нашем случае:

 
P (A1 + A2) = 1 – ((1 – 0,49)*(1 – 0,37)) = 0,6787.

 

 

2. Вероятность поражения цели  первым стрелком равна 0,3, вторым  – 0,7. Два стрелка стреляют  одновременно. Какова вероятность того, что цель будет поражена?

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности  появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Первый стрелок попал в цель» 
А2 = «Второй стрелок попал в цель» 
В нашем случае: 
 
P (A1 + A2) = 1 – ((1 – 0,3)*(1 – 0,7)) = 0,79. 

В-2

1. Какова вероятность  того, что наудачу выбранный день  одного столетия обладает следующим  свойством: число, номер месяца  и последние две цифры года  записаны с помощью только  одной из цифр 1, 2, …,9?

Таких дней 13: 1.1.11; 1.11.11; 11.1.11; 11.11.11; 2.2.22; 22.2.22; 3.3.33; 4.4.44; 5.5.55; 6.6.66; 7.7.77; 8.8.88; 9.9.99.

В одном веке 100 лет, 25 годов високосных по 366 дней, 75 годов  обычных по 365 дней. Всего в 100 годах 25*366+75*365=36 525 дней.

А=	13
	36525

Вероятность равна:

 

 

 

2. Вероятность поражения  цели первым стрелком равна  0,3, вторым – 0,7. Два стрелка  стреляют одновременно. Какова вероятность  того, что цель будет поражена?

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности  появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Первый стрелок попал в цель» 
А2 = «Второй стрелок попал в цель» 
В нашем случае: 
 
P (A1 + A2) = 1 – ((1 – 0,3)*(1 – 0,7)) = 0,79. 

В-3

1. Из полной игры  лото наудачу извлекается один  бочонок. На бочонке написаны числа от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что на бочонке написано простое число?

Количество простых  чисел от 1 до 90 равно 24.

Вероятность равна:

А=	24	=0,27
	90

 

 

 

 

 

2. Стрелок стреляет  в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности  появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Вероятность выбить 10 очков»

А2 = «Вероятность выбить 9 очков»

В нашем случае:

 
P (A1 + A2) = 1 – ((1 – 0,3)*(1 – 0,6)) = 0,72.

В-4

1. Какова вероятность  того, что  кость, наудачу извлечённая  из полного набора домино, имеет  сумму очков, равную 5?

Костей домино с суммой очков равной 5 всего 3 штуки. Всего костей домино 28 штук.

Вероятность равна:

А=	3	=0,107
	28

 

 

 

 

2. Из 30 учащихся спортивной  школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 – волейболом, 5 – волейболом  и баскетболом, а остальные  - другими видами спорта. Какова  вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом.

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности  появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Вероятность, что учащийся баскетболист» = 12/30 = 0,4.

А2 = «Вероятность, что учащийся волейболист» = 15/30 = 0,5.

В нашем случае:

 
P (A1 + A2) = 1 – ((1 – 0,4)*(1 – 0,5)) = 0,70.

В-6

1. Какова вероятность  того, что число на вырванном  наудачу листке нового календаря  кратно 5?

В одном месяце таких дней 6. В феврале таких дней 5. Итого: дней кратных 5 в году равно

6*11 + 5 = 71.

Всего в году 365 дней.

Вероятность равна:

А=	71	=0,195
	365

 

 

 

 

 

2. Игральную кость  бросают трижды. Какова вероятность  того, что цифра 5 выпадет три  раза?

Вероятность выпадания цифры 5 равна: 1/6 = 0,17.

Вероятность выпадания  трёх раз подряд равна:

А = 0,17 * 0,17 * 0,17 = 0,0049.

В-7

1. Какова вероятность  того, что число на вырванном  наудачу листке нового календаря  равно 29, если в году 365 дней?

В году число 29 встречается 11 раз (в феврале 28 дней).

Вероятность равна:

А=	11	=0,0301
	365

 

 

 

 

2. Производятся 4 независимых  выстрела. Вероятность поражения  цели стрелком при каждом из  выстрелов равна 0,9. Найти вероятность  того, что первые два выстрела  будут попаданиями, а последующие –промахами?

Обозначим события: А = «Попадание в цель первым выстрелом» = 0,9 
В = «Попадание в цель вторым выстрелом» = 0,9 
С = «Промах третьим выстрелом» = 1 – 0,9 = 0,1

D = «Промах четвёртым выстрелом» = 1 – 0,9 = 0,1 
Так как события зависимые, то вероятность попадания в цель первыми двумя выстрелами и промахов последующими выстрелами равна:

А = 0,9 * 0,9 * 0,1 *0,1 = 0,0081 

В-8

1. Выбирают наудачу  число от 1 до 100. Найдите вероятность  того, что в этом числе не  окажется цифры 3.

Таких чисел 19. Вероятность выбора числа с цифрой 3 равна:

А₃ = 19/100 = 0,19.

Вероятность выбора числа без цифры 3 равна:

А = 1 – 0,19 = 0,81.

 

 

2. Известно, что при  каждом измерении равновероятны  как положительная, так и отрицательная  ошибка. Какова вероятность того, что при трёх независимых измерениях  все ошибки будут положительными?

Вероятность положительной  и отрицательной ошибки равны:

А = 0,5.

Вероятность того, что  все три ошибки будут положительными равна:

А = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125.

В-9

1. В партии из 100 деталей  имеется 5 бракованных. Найдите  вероятность того, что взятая  на удачу деталь окажется стандартной.

Вероятность того, что  взятая деталь бракованная равна:

А_б = 5/100 = 0,05.

Вероятность того, что  взятая деталь стандартная равна:

А_б = 1 – 0,05 = 0,95.

 

 

2. Из двух полных  наборов шахмат наудачу извлекают  по одной фигуре или пешке.  Какова вероятность того, что  обе фигуры окажутся слонами?

Всего в двух полных наборах  шахмат 64 фигуры, из них 8 слонов.

Вероятность извлечения первым слона равна:

А₁ = 8/64 = 0,125.

Вероятность извлечения вторым слона равна:

А₂ = 7/63 = 0,111.

Вероятность извлечения двух слонов подряд равна:

А_с = 0,125 * 0,111 = 0,014.

 

 

В-11

1. Участник из 49 номеров отмечает 6. После того как участник сдал карточку, производится розыгрыш 6-х выигрышных номеров.

С какой вероятностью будет угадано три номера?

Благоприятное число  испытаний: угадывание 3 номеров из шести выигрышных номеров с присоединением комбинации 3 невыигравших номеров из 49-6=43. Вычисляется:

m = С₆³ * C₄₃³ = (6!/(3!*3!))*(43!/(3!*40!)) = 246 820.

Вариантов заполнения карточки равно:

n = C₄₉⁶ = 49!/(43!*6!) = 13 983 816.

Вероятность угадывания 3 номеров из 6 равна:

Р(А) = m / n = 246 820 / 13 983 816 = 0,01765.

 

2. В студенческой группе 0,9 всего состава группы успешно  сдали экзамен, причём 0,4 всех  студентов получили отметку «отлично».  Какова вероятность того, что  наудачу выбранный студент получил  отметку «хорошо» или «удовлетворительно»?

Вероятность равна:

А = 0,9 * (1 – 0,4) = 0,54.

В-12

1. В ящике 6 деталей,  из них 3 бракованных. Наудачу  извлечены 2 детали. Найти вероятность  того, что среди извлечённых деталей  нет бракованных.

Благоприятное число  испытаний: извлечение 2 деталей без брака из трёх. Вычисляется:

m = С₃² = 3!/(2!*1!) = 3.

Вариантов извлечения 2 деталей  из 6 равно:

n = C₆² = 6!/(2!*4!) = 15.

Вероятность извлечения 2 деталей без брака из 6 равна:

Р(А) = m / n = 3 / 15 = 0,2.

 

 

2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен – 0,85, третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов?

Вероятность, что он сдаст  первый и второй экзамен и не сдаст  третий:

Р(А) = 0,9*0,85*(1-0,8) = 0,153.

Вероятность, что он сдаст второй и третий экзамен и не сдаст первый:

Р(В) = (1-0,9)*0,85*0,8 = 0,068.

Вероятность, что он сдаст  первый и третий экзамен и не сдаст  второй:

Р(С) = 0,9*(1-0,85)*0,8 = 0,108.

Вероятность, что он сдаст  все три экзамена:

Р(D) = 0,9*0,85*0,8 = 0,612.

Вероятность, что он сдаст  не менее двух экзаменов равна:

Р = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) = 0,153 + 0,068 + 0,108 + 0,612 = 0,941.

 

 

В-13

1. При запуске компьютер  запрашивает идентификационный  код, состоящий из 4 цифр. Найти  вероятность того, что при произвольном наборе четырёх цифр был угадан идентификационный код.

Вероятность равна:

Р(А) = 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 = 0,0001.

 

2. Три стрелка стреляют  по цели. Вероятность попадания  в цель: для первого стрелка  – 0,75, для второго – 0,8, для  третьего – 0,9. Какова вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель?

 
Обозначим события: А1 = «Первый стрелок попал в цель»

А2 = «Второй стрелок попал в цель»

А3 = «Третий стрелок попал в цель»

 

В нашем случае:

P (A1 + A2 + А3) = 0,75* 0,8*0,9 = 0,51.

В-14

1. Участник из 9 номеров  отмечает 3. После того как участник  сдал карточку, производится розыгрыш 3-х выигрышных номеров. С какой  вероятностью будет угадано два  номера?

Благоприятное число  испытаний: угадывание 2 номеров из трёх выигрышных номеров с присоединением комбинации 1 невыигравшего номера из 9-3=6. Вычисляется:

m = С₃² * C₆¹ = (3!/(2!*1!))*(6!/(1!*5!)) = 18.

Вариантов заполнения карточки равно:

n = C₉³ = 9!/(6!*3!) = 84.

Вероятность угадывания 3 номеров из 6 равна:

Р(А) = m / n = 18 / 84 = 0,214.

 

 

2. Три стрелка стреляют  по цели. Вероятность попадания  в цель- для первого стрелка  – 0,75, для второго – 0,8, для  третьего – 0,9. Какова вероятность  того, что хотя бы один стрелок  попадёт в цель?

Для определения вероятности  воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий: 

 
Обозначим события: А1 = «Первый стрелок попал в цель»

А2 = «Второй стрелок попал в цель»

А3 = «Третий стрелок попал в цель»

 

В нашем случае:

 
P (A1 + A2 + А3) = 1 – ((1 – 0,75)*(1 – 0,8)*(1 – 0,9)) = 0,995.