Контрольная работа по «Математике»

Томский государственный  университет 

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Факультет дистанционного обучения

 

Кафедра Компьютерных систем в управлении и проектировании

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

 

по дисциплине «Математика 2»

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Зеленогорск

2012г

 

 

 

 

 

 

 

 

1а) .   Найти .

Используем формулы: ,     где константа, функции от . Первый раз все вычисления распишем подробно, в дальнейшем будем сокращать ради экономии места. Сначала вычислим производную:

,

поэтому:  ,

.

 

1б) .   Найти .

Дополнительно используем формулы:    тогда:

, поэтому:

.

 

1в) .   Найти .

Дополнительно используем формулу:  тогда:

, поэтому:

.

 

2. .  Найти , вычислить .

Дополнительно используем формулы:    ,  тогда:

,

, поэтому:   .

 

3. .  Найти , вычислить .

Сначала вычислим производные, используя дополнительно формулы: ,  тогда:

,  

,

,

,

,

,  тогда:

,     ,   ,   .

 

4.  .

 

Вычисляя частную производную  от функции многих переменных по одной из переменных, остальные переменные считаем постоянной величиной, поэтому:

,    ,    ,  тогда:  .

 

5. . 

Найдем частные производные функции  :

,   .

Найдем частные производные  функции  :

,   .   Матрица примет вид:

,  тогда:

,   поэтому сумма элементов  этой матрицы равна 5.

 

6. .     , .

 

а) Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , имеющий своими координатами частные производные функции

.

Вычисляем:

 ,

,

.

Итак, искомый градиент есть:

.

 

б) Производную в направлении вектора можно найти по формуле:

, где  - орт вектора , который вычисляется по формуле:

.

Вычисляем:

.

Тогда:

.

 

7.    Найти ,  .

Как известно:  ,  .  Вычисляем:

,   ,   ,  

,

,

.

 

8. .

 

Наша неявная  функция имеет вид:  , поэтому:

,         , поэтому:

а) .

б) .

 

9. ,  ,  ,  найти .

 

Как известно, уравнение  касательной к графику функции в точке имеет вид:   .

В нашем случае:  ,   ,  , поэтому искомое уравнение касательной к данной функции в точке имеет вид:  ,  т.е.  .

Тогда:

.

 

10. , найти ,  вычислить , если .

 

Дифференциал функции одной переменной вычисляется по формуле:

.

С другой стороны:

.

В нашем случае:

,   поэтому:  ,

.

 

11. ,   и , вычислить и .

 

Находим ,   , ,  .

Далее:

,

,      ,

,   ,

,   , поэтому:

.

Итак, ,   .

 

12. , найти наиб и наим значения на отрезке [-3,3].

 

Находим критические  точки данной функции, для чего решаем уравнение  , имеем:

,

.

Видно, что обе критические точки лежат внутри нашего отрезка, поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке, нужно рассмотреть ее значения в критических точках и на границах отрезка:

,   ,   .

Поэтому на нашем отрезке:   ,   .

 

13. ,  найти наиб и наим значения на множестве .

 

Данная функция  – это плоскость (рисунок см. ниже), поэтому заранее очевидно, что  наибольшее и наименьшие значения данная функция имеет на границах множества, а не во внутренних точках.

Изобразим наше множество , которое представляет собой  треугольник:

 

                           

 

Находим стационарные точки из системы:

   т.к. эти условия невыполнимы,  то критических точек у данной  функции нет.

Поэтому наибольшие и наименьшие значения данной функции  на данном множестве находятся на ее границах.

На отрезке  ОВ ( ) имеем уравнение нашей функции в виде:  - это линейная функция, причем ,   .

На отрезке  ОА ( ) имеем уравнение нашей функции в виде:  - это линейная функция, причем ,   .

На отрезке  АВ ( ) имеем уравнение нашей функции в виде: - это линейная функция, причем ,   .

Окончательно, на данном множестве: ,  .

 

                                                 

 

14. ,  исследовать функцию и построить график.

 

1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки .
2. Функция не является ни четной ни нечетной, т.к.

.

3. Функция непериодическая, т.к. нет такого числа, чтобы выполнялось соотношение:
4. Вычислим пределы:  .
5. Выясним вопрос об асимптотах:

а) Ясно, что  мы имеем вертикальную асимптоту  , т.к. при наша функция неограниченно возрастает.

   б) Ищем  наклонную асимптоту:  , где:

     ,

,  поэтому единственная наклонная  асимптота имеет вид:  .

6. Находим экстремумы  функции, для чего решим уравнение  . Вычисляем:

, .

В этих точках могут  быть экстремумы функции.

а) Проанализируем знак производной в малой окрестности  точки возможного экстремума . При   , при   . Т.к. производная не меняет свой знак при переходе через данную точку, то экстремума в этой точке нет.

б) Проанализируем знак производной в малой окрестности  точки возможного экстремума . При   , при   . Т.к. производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку возможного экстремума, то в данной точке функция имеет локальный максимум.

7. только при .  Это точки пересечения графика функции с осями координат.

8. Находим точки  перегиба графика функции, для  чего решаем уравнение:  . Вычисляем:

,  .

Видно, что при      а при   поэтому в точке имеем перегиб графика функции.  Слева от этой точки выпуклость направлена вверх, а справа – вниз.

 

 

9. Вычислим предел: .

10. По полученным данным  строим график нашей функции: