Контрольная работа по "Математике"

Вариант 3

 

3. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить двумя способами:

1) методом Крамера;

2) средствами  матричного исчисления

 

Решение

1. Докажем совместность системы уравнений: найдем ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы:

 

 

Rang A=rang . Отсюда следует, что заданная система уравнений  совместна и имеет единственное решение.

 Решаем систему методом Крамера

В общем случае, решение методом  Крамера имеет вид:

,

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

 

1. Вычисляем определитель системы:

 

так как определитель системы  , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

2. Вычисляем остальные определители:

 

 

 

 

 

 

3. Вычисляем значения неизвестных:

   

Итак, решение системы имеет вид   (-1,36;-0,26;3,34).

 

Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной  форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной  СЛАУ в явном виде:

 

 

2. Вычисляем определитель матрицы  :

det A=-89≠0

Итак, матрица  неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения  для всех элементов матрицы:

 

∆_1,1=(-4•6-(-2•(-3)))=-30

 

∆_1,2=-(1•6-1•(-3))=-9

 

∆_1,3=(1•(-2)-1•(-4))=2

 

∆_2,1=-(1•6-(-2•5))=-16

 

∆_2,2=(3•6-1•5)=13

 

∆_2,3=-(3•(-2)-1•1)=7

 

∆_3,1=(1•(-3)-(-4•5))=17

 

∆_3,2=-(3•(-3)-1•5)=14

 

∆_3,3=(3•(-4)-1•1)=-13

 

 

4. Вычисляем обратную матрицу :

 

5. Решаем заданную систему уравнений:

X=A^-1 • B

 

 

 

 

 

,

или  X^T=(-1.36,-0.26,3.34)

 

13. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Средствами векторной алгебры найти:

1. длину ребра;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. площадь грани А₁А₂А₃;
4. объем пирамиды.

А1(4,6,5),

А2(6,9,4),

А3(2,10,10),

А4(7,5,9).

 

1) Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

A₁A₂(2;3;-1)

A₁A₃(-2;4;5)

A₁A₄(3;-1;4)

A₂A₃(-4;1;6)

A₂A₄(1;-4;5)

A₃A₄(5;-5;-1)

2) Модули векторов

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

 

 

 

 

 

 

 

3) Угол между ребрами

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

 

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

Найдем угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄

 

γ = arccos(0.05) = 93.01⁰

4) Площадь грани

Площадь грани можно найти по формуле:

 

где

 

Найдем площадь грани A₁A₂A₃

Найдем угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃:

 

 

Площадь грани A₁A₂A₃

 

 

5) Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

 

 

 

 

23. Доказать, что векторы линейно независимы и найти разложение вектора по векторам .

Найдем определитель матрицы, составленный из векторов:

 

 

найдем координаты вектора  в этом базисе:

запишем векторное уравнение 

Систему решим методом Гаусса ( расширенной матрицей):

 

отсюда:

 координаты вектора  в новом базисе.

 

33. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1)общее уравнение стороны  АВ;

2) длину стороны ВС;

3) уравнение высоты, опущенной  из вершины А;

4) систему  неравенств, определяющих треугольник  АВС

A(-2;-6),

B(-6;-3),

C(10;-1).

 

1) Прямая, проходящая через точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂), представляется уравнениями:

 

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:

 

или

 

или   4y + 3x +30 = 0

 

2) длину стороны ВС:

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i, тогда  BC(16;4)

 

3) уравнение высоты, опущенной из  вершины А;

Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

 

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:

 

или

 или 4y -x +6 = 0

 тогда уравнение высоты:

 

 

y = -4x -14 или y +4x + 14 = 0

 

4) систему  неравенств, определяющих треугольник  АВС

выпишем уравнения сторон треугольника:

Уравнение прямой AB  

Уравнение прямой AC 

Уравнение прямой BC 

тогда система неравенств имеет  вид:

 

 

 

 

 

43. Не применяя правила Лопиталя, найти пределы функций

а)	б)
в)	г)

 

53.  Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

Найдем односторонние пределы  в точках разрыва функции, определим  род точек разрыва (скачок для  точек разрыва первого рода):

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

в точке  односторонние пределы конечны и совпадают  => в данной точке функция непрерывна.

в точке  односторонние пределы конечны и не совпадают  => в данной точке функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен  

 

63. Найти производные данных функций

a) ;		б) ;
в) ;		г) .

a)

 

b)

 

 

c)

 

 

d)

 

 

 

73.  Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2 и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

Обозначим высоту прямоугольника через 2x, ширину через 2y, тогда:

Площадь прямоугольника определяется функцией S, где x,y найдем из уравнения эллипса: , тогда площадь прямоугольника:

 

Исследуем функцию  на экстремум:

 

Стороны прямоугольника наибольшей площади равны:

 

83. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить графики:

1) Найдем область определения  функции: 

 

2) Исследуем функцию  на четность-нечетность:

 – функция  нечетная, симметрична относительно начала координат

3) Исследуем на непрерывность:

Функция не определена в точках

Найдем односторонние пределы  в точках разрыва функции, определим  род точек разрыва:

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в точках разрыва односторонние пределы бесконечны => в функция терпит разрыв второго рода. Прямые  вертикальные асимптоты.

Выясним, имеет ли функция  наклонные асимптоты.

 

 

 

наклонная асимптота

4) Найдем нули функции:

 

Функция пересекает ось  ОХ в точке .

Функция пересекает ось  ОY в точке .

5) Найдем критические точки функции и исследуем их характер с помощью первой производной:

 

 

Производная не существует в точке Исследуем знак производной на интервалах, на которых критические точки делят область определения функции:

При   

При

При

При

При

При

Следовательно, на промежутке функция возрастает. На промежутке функция возрастает.

В точке  производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке будет локальный максимум.

 

В точке  производная меняет знак с «-» на «+», значит в этой точке будет локальный минимум

 

6)Точки перегиба функции. Выпуклость

(

 

 не существует в  точках 

Исследуем знак второй производной на интервалах, на которых критические точки делят область определения функции:

При

При

При

При

Следовательно, на промежутке функция вогнута. На промежутке функция выпукла.

7) Построим график функции:

 

 

93. Найти частные производные функций

 

 

 

103.  Найти наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области (???), ограниченной заданными линиями.

y=1,

Найдем стационарные точки внутри области, решая систему  уравнений:

 

Получили  две стационарные точки.

 

Вычисляем значение функции в стационарных точках и в угловых точках области  D:

 

 

 

 наименьшее  значение

 

113.

a)

б)

а) 

b)

 

 

 

123. Вычислить определенные интегралы.

 

 

 

 

133. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

вычислим неопределенный интеграл:

 

Вычислим несобственный интеграл:

 

=> интеграл сходится

 

143. Решить дифференциальные уравнения

Нелинейное уравнение первого  порядка

  пусть 

 

 

 

 

 

 

 

153. Найти область сходимости рядов

 

Воспользуемся признаком Даламбера

 

 

 

 

 

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

 

По признаку сравнения ряд расходится.

 

По признаку сравнения ряд расходится.

Ответ: интервал сходимости ряда

 

163. Разложить в ряд Маклорена.

Разложим функцию 

, тогда: