Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Математика»

 

 

Задача 1

 

Даны вершины  А₁(2, -3, 2), А₂(0,5,4), А₃(5,6,1), А₄(-2,1,3) пирамиды. Найти:

1. длину ребра А₁А₂;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. уравнение грани А₁А₂А₃ и её площадь;
4. объем пирамиды.

 

Решение:

 

Найдем три вектора:

= (х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁) = (0-2; 5+3; 4-2) = (-2; 8; 2);

= (х₃-х₁; у₃-у₁; z₃-z₁) = (5-2; 6+3; 1-2) = (3; 9; -1);

= (х₄-х₁; у₄-у₁; z₄-z₁) = (-2-2; 1+3; 3-2) = (-4; 4; 1).

 

1. Найдём длину ребра А₁А_2. Длина данного ребра равна длине вектора .

|А₁А₂| = | | = = = ед. 8,5 ед.

 

2. Угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ рассчитывается как угол α = ) между векторами. Используем формулу скалярного произведения векторов.     =

| | = = = ед. 5,7 ед.

= = =

С помощью обратной функции  находим сам угол:

 А₁А₂; А₁А₄) = α = arccos ≈ 0,53 рад ≈ 30⁰

 

3. Площадь грани А₁А₂А₃ вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу S =

Сначала найдём векторное произведение:

= = = · - · + · =

= (-8 – 18) · – (2 – 6) · + (-18 – 24) · = -26 + 4   - 42

Вычислим его длину: | | = = =

Площадь грани А₁А₂А₃: S = = = ≈ 24,8 ед².

Составим уравнение  плоскости  А₁А₂А₃ по точке А₁(2, -3, 2) и вектору нормали (-26; 4; -42).

-26 · (х – 2) + 4 · (у + 3) – 42 · (z – 2) = 0;

-26х + 52 + 4у +12 – 42z + 84 = 0;

А₁А₂А₃: -26х +4у – 42z + 148 = 0;

 

4. Объем пирамиды рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов.

P = ( · · ) = = -2 · – 8 · + 2 · = -2 · (9 + 4) – 8 · (3 – 4) + 2 · (12 + 36) = -2 · 13 – 8 · (-1) + 2 · 48 = -26 + 8 + 96 = 78.

Таким образом: V = = = 13 ед³.

 

Ответ:

1. длина ребра А₁А₂ ≈ 8,5 ед.
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ ≈ 30⁰
3. уравнение грани А₁А₂А₃: -26х +4у – 42z + 148 = 0;  площадь ≈ 24,8 ед²;
4. объем пирамиды = 13 ед³.

 

 

 

 

 

Задача 2

Даны векторы  , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

(-1, 4, 3); (5, 0, 1); (-1, 4, 4); (-7, 8, 7).

 

Решение:

 

Вычислим определитель, составленный из координат векторов , , .

= = -1 · – 5 · + (-1) · = -1 · (-4) – 5 · (16 – 12) – 1 · 4 = 4 – 20 – 4 = -20 ≠ 0, значит, векторы , , линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трехмерного пространства.

Т.к. векторы  , , образуют базис трехмерного пространства, то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:

= х₁ + х₂ + х₃ , где х₁, х₂, х₃ – координаты вектора в базисе ( , , )

В целях нахождения х₁, х₂, х₃ следует расписать данное равенство покоординатно.

Т.к. = -20 ≠ 0, то система имеет единственное решение.

₁ = = -7 · – 5 · – 1 · = -7·(0 – 4) – 5·(32 – 28) – 1·(8 – 0) = 28 – 20 – 8 = 0;

₂ = = -1 · + 7 · – 1 · = -1·(32 – 28) + 7·(16 – 12) – 1·(28 – 24) = -4 + 28 – 4 = 20;

₃ = = -1 · – 5 · – 7 · = -1·(0 – 8) – 5·(28 – 24) – 7·(4 – 0) = 8 – 20 – 28 = -40;

х₁ = = = 0;

х₂ = = = -1;

х₃ = = = 2;

= 0· + (-1)· + 2· = - + 2 .

 

Ответ: = - + 2 ; (0, -1, 2)

 

 

Задача 3

Применяя метод  Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать  проверку найденного решения.

Решение:

Перепишем систему  уравнений в матричном виде.

 

От 4 строки отнимем 1 строку.

От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 5.

От 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 6.

2 строку делим  на -10.

От 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на  -11.

От 4 строки отнимаем 2 строку, умноженную на -1.

3 строку делим на 13,4.

От 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 2,4

Решим 4 уравнение

- · х₄ = - ,

х₄ = - : (- ),

х₄ = - ,

х₄ = 2.

Решим 3 уравнение, подставив  известную величину.

х₃ + х₄ = ,

х₃ + · 2 = ,

х₃ = - ,

х₃ = ,

х₃ = 1.

Решим 2 уравнение, подставив  известные величины.

х₂ – 1,6х₃ + 2х₄ = 1,4,

х₂ – 1,6 ·1 + 2 ·2 = 1,4,

х₂ + 2,4 = 1,4,

х₂ = 1,4 – 2,4,

х₂ = -1.

Решим 1 уравнение, подставив известные величины.

х₁ + 2х₂ – 5х₃ + 3х₄ = 1,

х₁ + 2 · (-1) – 5 · 1 + 3 · 2 = 1,

х₁ – 2 – 5 + 6 = 1,

х₁ – 1 = 1,

х₁ = 2.

Проверка:

2 + (-1) – 1 – 2 · 2 = -4

-4 = -4

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -1, х₃ = 1, х₄ = 2.

 

Задача 4

Найти пределы  функции:

а) ,    б) ,      в)

Решение:

а) =

Разделим числитель и  знаменатель на х².

= = = =

Ответ: =

 

б) =

Разложим числитель и  знаменатель на множители.

= х(х – 2)

= (х – 2)² = (х – 2)(х – 2)

= = = = +

Ответ: = +

 

в) =

Умножим числитель  и знаменатель на сопряженное  выражение.

= = = = = =

Ответ: =

 

Задача 5

Найти производные  следующих функций:

а) у = ;   б) у = ln²(x³ + 1);  в) x = t³ + t² +1,  y = t² +

Решение:

а) у =

y′ = ( )′ = ( )′ + ·( )′ =

= ⁞ (u( = u′( )· ⁞ = · + · (- ) · 3 = ( - 3 )

Ответ: y′ = ( - 3 )

 

б) у = ln²(x³ + 1); 

y′ = (ln²(x³ + 1))′ = 2ln(x³+1)·(ln(x³+1))′ = 2ln(x³+1) · · (x³+1)′ = 2ln(x³+1) · · 3x² =

Ответ: y′ =

 

в) x = t³ + t² +1,  y = t² +

Используем  формулу:  =

= = + = ·2t - t - =

= = + + = · 3 + · 2t = +t

= : +t = · =

Ответ: =

 

Задача 6

Найти интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)     в)    г) .

Решение:

а)

Используем  формулу квадрата суммы  = a² + 2ab + b² избавляясь от степени.

= dx = + + 4 = x + 4 · + 4 · + C = x + + + C

Проверка: = + + + = 1 + 4x³ + · 7 =

1 + 4x³ + 4x⁶

Ответ: = x + + + C.

 

Т.к. = 4·x, то применим правило: dx = +C

= = + C.

Проверка:

+ C)′ = ′ = · · 4х =

Ответ: = + C.

 

в)   

Применим способ интегрирования по частям:

= x                                 d = dx

d = =               = - =

= x · - = - + =

Сделаем замену переменной: t = -x,  dt = - dx

= = - - = - - + C

Сделаем обратную замену

= - - + C = - - + C = + C

Проверка:

= · (1 + x) + · = + - =

Ответ: = + C

 

г)

Распишем подинтегральное  выражение следующим образом:

= = = = = · - · =

 ·  - ·

= · - · = · dx + = dx +

Сделаем замену переменной:  u = ; du = 2x - 1

= dx + = + = +

Сделаем обратную замену

= + = +

= t - = t - = t -

Сделаем замену переменной: u = x - ; du = dx

= t - = t - = t - = t - 2

Разобьём на сумму элементарных дробей

= t - 2 = t – 2 du = t - 2 = t - 2 + du = t - 2 - 2 = t + du - du

Сделаем замену переменной: y = ; dy = 2du

= t + du - du = t + - du = t + · - du

Сделаем обратную замену

= t + · - du = t + · - du

Сделаем замену переменной: y = ; dy = 2du

= t + · - du = t + · - = t + · - · + C

Сделаем обратную замену

= t + · - · +C = t + · - · +C = · - · + C

Проверка:

=

+ - =

 ·  + · - · = + -

Пусть = t, тогда

+ - = + - =

= =

= = =

=  = =

= = = =