Контрольная работа по "Математике"

Задача 1-5. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

 

Решение.

 Вначале решим методом Крамера.

 

Формула Крамера: x; y; z.

Здесь ∆-определитель системы;

∆x-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

∆y-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

∆z-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

∆== (2*4*4) + ((-1)*(-2)*3) + ((-1)*3*(-2)) - ((-1)*4*3) - ((-1)*3*4) - (2*(-2)*(-2)) = 32+6+6+12+12-8 = 60

∆x== (4*4*4) + ((-1)*(-2)*11) + ((-1)*11*(-2)) - ((-1)*4*11) - ((-1)*11*4) - (4*(-2)*(-2)) = 64+22+22+44+44-16 = 180

∆y= = (2*11*4) + (4*(-2)*3) + ((-1)*3*11) – ((-1)*11*3) – (3*4*4) – (2*(-2)*11) = 88-24-33+33-48+44=60

∆z= = (2*4*11) + ((-1)*11*3) + (4*3*(-2)) – (4*4*3) – ((-1)*3*11) – (2*11*(-2)) = 88-33-24-48+33+44=60

Теперь найдем значения неизвестных:

x =

y =

z =

 

Затем решим методом Гаусса.

 

Перепишем систему уравнения  в матричном виде:

 

С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к требуемому виду:

=> => => =>

 

 

Рассмотрим третье уравнение  из получившейся системы:

60z =60

z = 1

Рассмотрим второе уравнение получившейся системы и, подставим в него значение z из третьего уравнения, и найдем значение y:

187y + 17z = 170

187y + 17*1=170

187y = 17017

187y = 187

 y = 1

Рассмотрим первое уравнение получившейся системы и, подставим в него значения y и z ,и найдем значение x:

x5y + z = 7

x5*1 + 1=7

x4 = 7

x = 3

x = 3

Для проверки подставим найденные  значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

 

ОТВЕТ: x=3; y=1; z=1.

 

Задача 2-5. Даны координаты вершин пирамиды А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

Найти:

1.  Длину ребра А₁А₂;

2. Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3. Площадь грани А₁А₂А₃;

4. Уравнение плоскости А₁А₂А₃.

5. Объём пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Решение.

1. Длина ребра А₁А₂ равна расстоянию между точками А₁ и А₂ или модулю вектора. Расстояние между точками M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) вычисляется по формуле М₁М₂=. Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:

A₁A₂ ===7,07

2. Угол между ребрами  А₁А₂ и А₁А₄ найдем, используя формулы векторной алгебры:

 ;  ; =.

В нашем случае  , . Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

 

 

3. Площадь грани A₁A₂A₃ можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и   численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае , ;

 

Имеем, 

Итак, площадь грани A₁A₂A₃ равна 15 (кв.ед.)

4. Уравнение плоскости  A₁A₂A₃ будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А₁,А₂ и А₃:

  ,

  ,

  ,

  ,

  ,

5.Объем пирамиды А₁А₂А₃А₄ найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

.

Найдем смешанное произведение векторов , и :

 

 

 

ОТВЕТЫ:

1.длина ребра А1А2 равна 7,07(ед.);

2.угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен 24,49^о;

3.площадь грани А1А2А3 равна 15(кв.ед.);

4.уравнение плоскости А1А2А3 (в общем виде) ;

5.объём пирамиды А1А2А3А4 равен 11,6(куб.ед.).