Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

                  

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

 

 ИНСТИТУТ  УПРАВЛЕНИЯ  И  ПРАВА

 

 Факультет  ЭКОНОМИКА 

 

Специальность: Бухгалтерский учет и аудит 

 

       

                                     

                                             

 

Контрольная работа

 

 

 

Дисциплина: МАТЕМАТИКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Матрицы  и операции над ними

 

Теоретический материал:

1) Сложение (вычитание) матриц,

2) Умножение матриц  на число, умножение матрицы  А  на матрицу В. 3) транспорирование  матрицы 

4) Возведение матрицы А в целую  положительную степень 5) След  матрицы 6) Обратная матрица 

1.1. Найти матрицу  , где   

Решение.

Для начала найдем матрицу  А+В

 

Тогда

 

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ: 2

 

 

1.2. Даны матрицы   

Показать, что

 

Решение.

 

Умножим две матрицы  А и В:

Матрица А

1	-1
2	3

Матрица B

2	4	1
-1	2	3

 

 

Матрица AxB

(1•2)+(-1•(-1))	(1•4)+(-1•2)	(1•1)+(-1•3)
(2•2)+(3•(-1))	(2•4)+(3•2)	(2•1)+(3•3)

=

3	2	-2
1	14	11

 

Тогда

 

 

А теперь находим трансформированные матрицы:

 

Матрица В^Т x А^Т

(2•1)+(-1•(-1))	(2•2)+(-1•3)
(4•1)+(2•(-1))	(4•2)+(2•3)
(1•1)+(3•(-1))	(1•2)+(3•3)

=

3	1
2	14
-2	11

 

Как видно, результат тот же.

 

 

 

1.3. Дана матрица  .Найти матрицу и её след.

Решение.

 

 

Чтобы вычислить след исходной матрицы, нужно сложить  элементы на главной диагонали: 
 
Sp( A ) = 13 − 22 = −9

 

Варианты ответа  

1	2	3	Вариант
			Ответ
حв=4	tحв=7	Tحв=-9

 

1.4. Дана матрица  найти матрицу :

 

Решение.

 

Запишем матрицу в  виде:

 

Главный определитель

∆ = (4 • 1-2 • (-5)) = 14

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹·1 = 1; A₁₂ = (-1)¹⁺²·5 = 5; A₂₁ = (-1)²⁺¹·-2 = -2; A₂₂ = (-1)²⁺²·4 = 4;

Обратная матрица

 

 

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 2

 

1.5. Даны матрицы   

Показать, что 

 

Решение.

 

Умножим две матрицы  А и В:

Матрица А

2	3
-1	1

Матрица B

1	0
4	-3

Матрица AxB

(2•1)+(3•4)	(2•0)+(3•(-3))
(-1•1)+(1•4)	(-1•0)+(1•(-3))

=

14	-9
3	-3

 

Запишем матрицу в  виде:

 

Главный определитель

∆ = (14 • (-3)-3 • (-9)) = -15

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹·-3 = -3; A₁₂ = (-1)¹⁺²·9 = 9; A₂₁ = (-1)²⁺¹·-3 = -3; A₂₂ = (-1)²⁺²·14 = 14;

Обратная матрица

 

 

 

С другой стороны 

 

 

Этот случай не равный.

 

 

 

 

Теоретический материал:

1)Свойства определителей.

2)Минор, алгебраическое дополнение.

3)Вычисление определителей.

4) Невырожденная матрица.

 

2.1. Вычислить определитель:

_{Решение.}

 

 

1	2	3	Вариант
0.5	0	1	Ответ 3

 

2.2. Вычислить определитель  с помощью теоремы Лапласа:

 

Решение.

 

1	2	3	Вариант
97	84	120	Ответ 1

 

 

 

2.3. Найти числовое  значение х:

3,    1,     5

х – 1, 2, 10  =0

- 7, х + 2, 15

 

 

1	2	3	Вариант
			Ответ 3

 

 

 

2.4. Решить систему  методом Крамера: 

 

_{Решение.}

Запишем систему в  виде:

 

B^T = (-4,8,19)

Главный определитель:

∆ = 3 • (1 • 5-(-1 • 3))-1 • (2 • 5-(-1 • (-1)))+2 • (2 • 3-1 • (-1)) = 29 = 29

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = -4 • (1 • 5-(-1 • 3))-8 • (2 • 5-(-1 • (-1)))+19 • (2 • 3-1 • (-1)) = 29

X=29/29=1

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 3 • (8 • 5-19 • 3)-1 • (-4 • 5-19 • (-1))+2 • (-4 • 3-8 • (-1)) = -58

Y=-58/29 =-2

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 3 • (1 • 19-(-1 • 8))-1 • (2 • 19-(-1 • (-4)))+2 • (2 • 8-1 • (-4)) = 87

Z= 87/29=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Ранг матрицы.

 

Теоретический материал:

1) Ранг матрицы и  свойства ранта матрицы.

2) Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы.

3) Эквивалентные матрицы.

4) Собственные значения  и собственные векторы матрицы.

 

3.1. Определить ранг  матрицы 

_{Решение.}

 

Запишем матрицу в  виде:

2	1	4	1
1	0	3	-1
5	2	11	1

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1	0	3	-1
2	1	4	1
5	2	11	1

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	-1	2	-3
2	1	4	1
5	2	11	1

Умножим 2-ую строку на (2.5). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0	-1	2	-3
0	0.5	-1	1.5
5	2	11	1

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0.5	-1	1.5
0	-1	2	-3
5	2	11	1

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	0	0	0
0	-1	2	-3
5	2	11	1

1-ая строка является  линейной комбинацией других  строк.

Ранг матрицы равен r=2.

 

 

1	2	3	Вариант
4	-3	2	Ответ 3

 

3.2. Найти максимальное  число линейно независимых столбцов  матрицы  

 

                    

 

Решение.

 

 

Запишем матрицу в  виде:

2	3	1
-3	-1	-4
1	5	3

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1	5	3
2	3	1
-3	-1	-4

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	7	5
2	3	1
-3	-1	-4

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0	7	5
0	7	-5
-3	-1	-4

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	0	10
0	7	-5
-3	-1	-4

Ранг матрицы равен r=3.

Ответ:3.

 

 

3.3. Найти собственные  значения матрицы 

 

Исходная матрица имеет  вид:

 

Составляем систему для определения  координат собственных векторов:

(1 - λ)x₁ + 3x₂ + 0x₃ = 0

3x₁ + (1 - λ)x₂ + 0x₃ = 0

0x₁ + 0x₂ + (9 - λ)x₃ = 0

Составляем характеристическое уравнение  и решаем его:

 

- λ³ + 11λ² - 10λ - 72 = 0

Один из корней уравнения равен  λ₁ = -2

Тогда характеристическое уравнение  можно записать как (λ + 2)( - λ² + 13λ - 36)=0.

- λ² +13 λ - 36 = 0

D = 13² - 4 • (-1) • (-36) = 25

 

 

Рассмотрим пример нахождения собственного вектора для λ₁.

Составляем систему для определения  координат собственных векторов:

Подставляя λ = -2 в систему, имеем:

3x₁ + 3x₂ + 0x₃ = 0

3x₁ + 3x₂ + 0x₃ = 0

0x₁ + 0x₂ + 11x₃ = 0

Пусть x₁ - свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные x_i.

 

1	2	3	Вариант
2 3 7	9 4 2	6 -5 1	Ответ 2

 

3.4. Определить рант  следующей системы векторов:

 

Решение.

 

Запишем матрицу в  виде:

1	2	0	3
3	3	7	6
5	4	8	9

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	3	-7	3
3	3	7	6
5	4	8	9

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0	3	-7	3
0	3	11	3
5	4	8	9

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	0	-18	0
0	3	11	3
5	4	8	9

Ранг матрицы равен r=3.

 

1	2	3	Вариант
2	3	4	Ответ 3