Контрольная работа по "Математике"

Введенией

Число понимается и принимается (многими) античными мыслителями как первая сущность, определяющая все многообразные внутрикосмические связи мира, основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. Каким же мыслителям свойственен такой взгляд?

Среди греческих  мыслителей прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академики обращали особое внимание на роль числа в познании и конституировании мира: «Числу все вещи подобны», – утверждает Пифагор. Не следует, однако, понимать это утверждение так, как истолковывает его Аристотель, а именно, что все вещи состоят из числа, поскольку число допустимо лишь мыслить, но нельзя искать среди вещей. Как поясняет просвещенная Теано, «и многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем, он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе – первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и т.д.»

Таким образом, число выступает как принцип познания и порождения, ибо позволяет нечто различать, мыслить как определенное, вносить предел в мир и мысль. Поэтому число – первое из сущего, чистое бытие, – как таковое оно есть нечто божественное: «…Природа числа, – говорит Филолай, – познавательна, предводительна и учительна для всех во всем непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей – ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если бы не было числа и его сущности». Число есть чистое идеальное бытие, первый образ безобразного Блага и первый прообраз всего существующего. Поэтому число – наиболее достоверное и истинное, первое во всей иерархии сущего, начало космоса.

Число играет первенствующую роль и в так называемом не писанном, или эзотерическом, учении Платона, незафиксированном в текстах  самого Платона и дошедшем до нас лишь в реконструированном виде из отдельных свидетельств его учеников и последователей. Согласно этому учению, следы которого мы находим у Аристотеля, его ближайшего ученика Теофраста и позднеантичных неоплатоников, в основе всего лежит единица – начало тождественности, принцип формы и неопределенная двоица – принцип инаковости, или материи, которыми и порождается вся иерархия сущего – эйдосы и числа, души и геометрические объекты, физические тела. Принцип числа оказывается тем основанием, на котором покоится (более позднее) античное миросозерцание с его обостренным переживанием бытия, присутствующего в космосе, но не смешанного с ним.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в  доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа продолжался  на протяжении всей истории человечества. На низком этапе первобытного общества понятие абстрактного числа не существовало. В сознании первобытного человека еще  не сформировалось то общее, что объединяет например, "три человека" и "три озера". Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счета предметов различного типа использовались различные словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавалось по-разному. Такие именуемые числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированного понятиями "много" (о большом количестве тех или иных предметов), которые также были именуемыми, т.е. высказывались разными словами для различных типов объектов, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.п. Сначала числовые сроки имели более качественный характер – отличали один, два и большее количество. Большее значение получали добавлением. Например, в австралийского племени реки Муррей, 1 – Энза, 2 – петчевал, 3 – петчевал-Энза, 4 – петчевал-петчевал. Но даже такие способности человечество получило после большого промежутка времени, в который пользовались только из понятий "один", "два" и "много"  
Источником возникновения понятия абстрактного числа была примитивная Счет предметов, основанная на сопоставлении предметам данной совокупности предметов определенной совокупности, малая роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном были пальцы ("Счет на пальцах"), непосредственно подтверждается языковедческих анализом названий первых чисел. На этом этапе число становится абстрактным, независимым от качества объектов счета, но вместе с тем связанным с природой совокупности-эталону. Расширение потребностей счета побудило людей пользоваться из других эталонов счета, например, зарубок на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея: обозначение некоторого определенного числа (у большинства народов – десяти) новым знаком, например, засечкой на другой палочке. 

1. Число, как основное понятие математики

  Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа продолжался на протяжении всей истории человечества. На низком этапе первобытного общества понятие абстрактного числа не существовало. В сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что объединяет например, "три человека" и "три озера". Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счета предметов различного типа использовались различные словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавалось по-разному. Такие именуемые числовые ряды были очень короткими и завершались не индивидуализированного понятиями "много" (о большом количестве тех или иных предметов), которые также были именуемыми, т.е. высказывались разными словами для различных типов объектов, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.п. Сначала числовые сроки имели более качественный характер – отличали один, два и большее количество. Большее значение получали добавлением. Например, в австралийского племени реки Муррей, 1 – Энза, 2 – петчевал, 3 – петчевал-Энза, 4 – петчевал-петчевал. Но даже такие способности человечество получило после большого промежутка времени, в который пользовались только из понятий "один", "два" и "много"  
Источником возникновения понятия абстрактного числа была примитивная Счет предметов, основанная на сопоставлении предметам данной совокупности предметов определенной совокупности, малая роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном были пальцы ("Счет на пальцах"), непосредственно подтверждается языковедческих анализом названий первых чисел. На этом этапе число становится абстрактным, независимым от качества объектов счета, но вместе с тем связанным с природой совокупности-эталону. Расширение потребностей счета побудило людей пользоваться из других эталонов счета, например, зарубок на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея: обозначение некоторого определенного числа (у большинства народов

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

Существует  большое количество определений  понятию «число».

Первое  научное определение числа дал  Эвклид в своих «Началах», которое  он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н.э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое  определение: «Число есть множество, которое  измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей  «Общей арифметике» (1707 г.) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие — нет.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом   (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Последовательность  всех натуральных чисел, расположенных  в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.

2. Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые  применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием  «натуральное число» в современном  его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717–1783 гг.).

Первоначальные представления  о числе появились в эпоху  каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному  производству, примерно 100 веков до н.э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые  требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые  числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало  быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа  «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих  легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой  идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в  Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков – мириада), равное 10000, а за пределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» – 10¹², «леодр» – 10²⁴, «ворон» – 10⁴⁸, «колода» – 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» – до числа 10, возведенного в степень 8х10¹⁶, и Зенон Элейский (IV в. до н.э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.