Контрольная работа по "Математике"

Женский институт ЭНВИЛА

 

Кафедра экономики  и естественнонаучных дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Высшая математика»

Вариант № 8

 

 

 

 

 

 

 

Сорокиной Оксаны Александровны

студентки 1 курса  группы БА 104

факультета лингвистики  и экономики 

заочной формы  обучения

тел. 8(017)2437487, 8(029)6861174

 

 

Пример №1. Даны вершины A(x₁, y₁), B(x₂,y₂), C(x₃, y₃) треугольника.

Найти: 1) Длину стороны AB; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной с вершины C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину C; 5) тоску пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины C; 7) систему линейных уравнений, определяющих треугольник ABC. Сделать чертеж.

A(-1;-1)  B(-7;2)   C(-4;3)

Решение:

1) Длина стороны АВ равны

 

2) Находим угловые коэффициенты прямых АВ и АС:

 

     

Тогда   

 γ=arctg -0,5=-0,464 рад.

Ответ: 0,464

3) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку С(-4;3)

y-y₃=k(x-x₃), y-3=k(x+4)

Находим угловой коэффициент высоты, которая проходит через точку С.

Т. к. k_AB=-0,5 и

Уравнение высоты y-3=2(x+4), y=2x+8+3, y=2x+11

4) Для получения медианы, проходящей через вершину С находим середину отрезка AB – точку M.

 

Уравнение CM

 

5) Находим точку пересечения высот треугольника. Напишем уравнение высоты, проходящей через точку B(-7;2).

 

 

Координаты точки пересечения  высот удовлетворяют системе  уравнений

 

 

5x=-15, x=-3, y=5

6) Находим длину высоты  опущенной с вершины С. Находим координаты точки пересечения этой высоты со стороной АВ. Уравнение стороны АВ.

 

Координаты точки пересечения удовлетворяют системе уравнений

 

Длина высоты равна

7) Получим систему линейных  неравенств, определяющих треугольник ABC.

Для этого напишем уравнения  сторон:

AB   

AC  

BC  

Прямая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них определяется неравенством , которому удовлетворяет точка .

определяет полуплоскость  содержащую точку B(-7;2).

 определяет полуплоскость содержащую точку A(-1,-1)

Система неравенств, определяющая все точки, лежащие внутри треугольника ABC:

 

Соответствующий чертеж будет  иметь вид:

 

Пример 2. Дана матрица

Выяснить, является ли она  невырожденной. Найти матрицу А^-1, обратную к А.

Решение.

Сначала находим определитель этой матрицы

|А|= 0·3·0 + 1·1·(-2) + (-1)·1·4 - 1·1·0 - 0·1·4 – (-1)·3·(-2) = 0-2-4-0-0-6=-12

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, то у матрицы А есть обратная. Алгебраические дополнения соответствующих элементов таковы:

    

     

    

     

 

Обратная матрица

 

Проверка:

 

 

 

 

Аналогично,

 

 

 

 

Пример 3. Даны векторы  , Показать, что векторы  , образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение.

Составим определитель из компонентов векторов , и вычислим его:

 

 

 

Так как , то векторы , образуют базис. Если – координаты вектора в этом базисе, то они удовлетворяют системе линейных уравнений

 

Эту систему решим методом  Гаусса, для этого запишем систему в виде расширенной матрицы системы

 

Первое и третье уравнение оставляем без изменений; из второго вычитаем первое умноженное на 9; из третьего вычитаем первое умноженное  на -3

 

Первое, второе и третье уравнение оставляем без изменений; из четвертого умноженного на 25 вычтем второе умноженное на -7

 

Первые три уравнение  без изменений; из четвертого умноженного 8 вычтем третье умноженное на 227

 

Последнее уравнение имеет  вид .

Третье уравнение имеет вид

Второе уравнение имеет вид

 

Первое уравнение имеет вид

 

 и, следовательно,

.

 

Пример 4. Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:

а) Найти  

Решение.

 

б) Найти 

Решение.

Предел знаменателя равен  нулю

 

Умножим числитель и знаменатель дроби на

 

Вблизи точки  имеем (при ) поэтому можем сократить дробь на

 

Применим теорему о  пределе частного

 

в) Найти  

Решение.

Используем первый замечательный  предел 

 

 

 

 

г) Найти  

Решение.

Воспользуемся вторым замечательным пределом

 

 

 

 

 

Пример 5. Найти производную заданных функций.

а) 

 

 
Решение. 

 

 

б) 

Решение. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 

Решение. 

 

 

 

г)  

Решение.

 

 

 

Пример 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена при .

2. Точки разрыва . Точка пересечения с осями OY и OX при x=0, y=0.

3. Функция является нечетной 

Функция не является периодичной.

4. Найдем производную  функции

 

 при , производная не существует при

Эти точки разбили область  определения функции на интервалы (-∞;-3), (-3, -), (; 0), (0; ), (; 3), (3; +∞). Внутри каждого интервала сохраняется знак производной, а именно y' > 0 в интервалах (-3, -), (; 0), (0; ), (; 3), y' < 0 в интервалах (-∞;-3), (3; +∞).

Функция возрастает в интервалах (-3, -), (; 0), (0; ), (; 3). Функция убывает в интервалах (-∞;-3), (3; +∞).

Точка является точкой минимума, так первая производная в окрестностях этой точки при увеличении x меняет знак минуса на плюс. y_min=4,5

Точка является точкой максимума, так первая производная в окрестностях этой точки при увеличении x меняет знак плюса на минус. y_max=-4,5.

Точки , не являются точками экстремума, так как производная в их окрестностях не меняет знак.

5) Найдем вторую производную

 

 

 

Вторая производная не определена при , равна нулю при .

Определим  знак на каждом из интервалов, на которые найденные точки разбивают область определения. >0 при , прямая выпукла.

Так как в окрестностях x=0 вторая производная меняет знак, то O (0, 0) является точкой перегиба. Точки , не являются точками перегиба.

6) Две вертикальные асимптоты, .

 

 

Покажем, что функция имеет  наклонную асимптоту 

 

 

Уравнение наклонной асимптоты 

7) Дополнительно найдем точки  

 

 

8) Построим график

Пример 7. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая, образующая вместе с осями координат треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые на осях координат, чтобы сумма их была наименьшая?

Решение.

Уравнение прямой проходящей через точку   

На оси OX прямая отсекает отрезок OC

0-4=k(x-1) → OC=x=(k-4)/k

На оси OY прямая отсекает отрезок OB

y-4=k(0-1)→ OB=y=4-k

Сумму длин отрезков

Найдем наименьшее значение этой функции. Критические точки  находим их условия 

 

 не подходит  из условия задачи.

При переходе через точку  производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно функция имеет минимум.

OC=3, OB=6.