Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №1

Вариант 18

Задание 8.

Даны  четыре вектора  (а₁, а₂, а₃), (b₁, b₂, b₃), (c₁, c₂, c₃) и (d₁, d₂, d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют  базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

(-2,1,7),  (3,-3,8),     (5,4,-1),     (18,25,1).

Решение

Убедимся, что  векторы  образуют базис. Базисом в R³ являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю.  Находим:

Так как определитель ∆ = 290 не равен нулю, следовательно, векторы образуют базис пространства R³.

Найдем координаты вектора  в базисе . Обозначим искомые координаты через , т. е

Тогда

Определитель ∆ = 290.

Решим систему  с помощью формул Крамера:

 где

  - главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

(i = 1,2,3) – определитель, который получен путем замены i –го столбца столбцом свободных членов.

= ;  =   = .

Таким образом,

Значит ,

Задание 18.

Задание 48. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти:  1) длину ребра А₁А₂;  2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;  3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;  4) площадь грани А₁А₂А₃;      5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;  8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертёж.

А₁(6,1,1), А₂(4,6,6), А₃(4,2,0), А₄(1,2,6).

Решение:

1. = (-2, 5, 5),

d = , d – длина ребра А₁А₂

2) Угол между  ребрами А₁А₂ и А₁А₄ будем вычислять по формуле:

= (-2, 5, 5), = (-5, 1, 5)

Найдем скалярное произведение:

  ,

Подставляем найденные значения:

ϕ = arccos0,76

3) Угол между ребром  А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ будем вычислять по формуле:

где ,

= (-2, 5, 5), = (-2, 1, -1)

= (-5, 1, 5), = (-10, -12, 8)

Подставляем:

4) Площадь грани  А₁А₂А₃ будем вычислять по формуле:

5) Объём пирамиды  вычисляем по формуле:

6) Уравнения  прямой А₁А₂ находим по формуле:

А₁А₂:  

7) Уравнение  плоскости А₁А₂А₃ по точке А₁(6, 1, 1) и нормальному вектору = (-10, -12, 8)

-10(x – 6) – 12(y - 1) + 8(z – 1) = 0

5(x – 6) + 6(y - 1) - 4(z – 1) = 0

5x – 30 +6y – 6 – 4z + 4 = 0

5x + 6y – 4z – 32 = 0 общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

8) Искомые уравнения  высоты получим из канонических  уравнений прямой

 точка, лежащая на  искомой прямой, а m, n, p – искомые координаты параллельного искомой прямой. При этом в качестве возьмем точку А₄(1,2,6), а в качестве вектора - нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃, т. е.  = (5, 6, -4).

Имеем:

Чертеж

 

Задание 28.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(4, 2) и оси ординат.

Решение

Расстояние  между двумя точками определяется по формуле

Пусть точка  М(х, у) принадлежит искомой линии, тогда

Пусть точка B(0, у) принадлежит оси ординат, тогда

По условию: MB = AM

 

Задание 38.

Доказать  совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса;  2) средствами матричного исчисления.

 

Решение

Основная матрица А  и расширенная 

А = ,

Совместность системы  проверим по теореме Кронекера-Капелли. Найдем ранги основной и расширенной матриц с помощью элементарных преобразований.

Так как rangA = rang = 3, то система совместна и имеет единственное решение.

1) Метод Гаусса реализован  при отыскании ранга. Полученной  матрице соответствует система, эквивалентная данной:

2) Средства матричного  исчисления

Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений  в матричной форме AX=B, где

А = ,       ,        В = .

Решение СЛАУ в матричной  форме имеет вид  , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

, где |А| = , - алгебраическое дополнение к элементу .

= ,

- миноры, соответствующие  элементам  матрицы А.

; ;

  ; ;

;

;

.

Обратная матрица  имеет вид: .

Тогда Х = =

Итак, решение системы: = -8; = -4; = -13.

Задание 48.

Найти размерность  и базис пространства решений  однородной системы линейных уравнений.

Решение

Находим ранг основной матрицы  системы с помощью элементарных преобразований

r = 2.

Размерность пространства решений этой системы  n – r = 4 – 2 = 2. Преобразованная система, эквивалентная данной, имеет вид:

Получаем:

х₃, x₄ – свободные переменные

В векторном  виде:

х₃ – произвольное число.

Вектор-столбцы

образуют базис пространства решений системы.

Задание 58.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

Решение

Составим характеристическое уравнение |A - λE|= 0

((5 - λ)(1 - λ) + 4)(-3 - λ) = 0

λ ₁ = -3  λ₂ = 3  

При λ ₁ = -3  система имеет вид:

Числу λ ₁ = -3   соответствует собственный вектор:

- любое действительное  число.

При λ ₁ = 3  система имеет вид:

Числу λ ₁ = 3   соответствует собственный вектор:

- любое действительное  число

Задание 68.

Привести  к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение

Составим уравнение |A - λE|= 0

 λ ₁ = 10  λ₂ = 1

Находим собственный  вектор , соответствующий λ ₁ = 10

Нормируем . Тогда нормированный собственный вектор принимает вид:

Находим собственный  вектор , соответствующий λ ₂ = 1

Нормируем . Тогда нормированный собственный вектор принимает вид:

Составляем  матрицу перехода от старого базиса к новому:

Переход от старых координат к новым:

Подставляем в  исходное уравнение:

 

 

Контрольная работа №2

Вариант 18

Задание 78.

Построить график функции  преобразованием графика функции .

Решение

График функции  получен из графика функции сжатием по оси Ох в 3/2 раза, затем параллельный перенос вправо на 1 и растяжением по оси Оу в раза. Знак «-» означает симметрию относительно оси Ох

 

y = cosx

 

Задание 88.

Дана  функция  на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая j значения через промежуток p/8, начиная от  j=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение

1)

	0
r	1	≈1,02	≈1,11	≈1,26	1,5	≈1,85	2	≈2,32	≈2,78

 

3	≈2,78	≈2,32	2	≈1,85	1,5	≈1,26	≈1,11	≈1,02	1

Для вычерчивания линии проведем радиус-векторы, соответствующие  углам  . На каждом из этих радиус-векторов откладываем отрезки, равные значениям r, при соответствующих значениях из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной функции.

 

2) подставляем r = , в уравнение заданной линии

Задание 98.

Найти указанные  пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

 

Задание 108.

Заданы функция  и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

   

Решение

1) Функция в  точке непрерывна, так как в этой точке непрерывна функция , а значит и

Точка есть точка разрыва этой функции, так как в этой точке не определенна.

2) Находим пределы при приближении к точке x = 1 разрыва слева и справа:

Точка х = 1 является точкой разрыва 2-го рода (бесконечный скачок).

3) Чтобы сделать  схематический чертеж, найдем

Задание 118.

Задана  функция  различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

Решение

Функция  x непрерывна на (-∞,0

функция tgx  непрерывна на (0, ] и

функция 2 непрерывна на .

Значит, функция f(x) непрерывна на интервалах (-∞, 0 . Остается исследовать точки х₁ = 0 и х₂ = .

 Находим  пределы функции в этих точках:

Для х₁ =0: f(0) = 0

Так как

, значит, в точке х = 0 функция непрерывна,

Для х₂ = : f( ) = 1

 

Так как

, но существуют, то точка х₂ = является точкой разрыва 1-го рода.

 

Сделаем схематический чертеж:

 

 

 

Литература

1. Булдык Г. М. Высшая математика. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление / Г. М. Булдык, Н. Г. Серебрякова. Минск: НО ООО «БИП-С», 2003
2. Гусак А. А. Высшая математика . Т. т. 1 – 2, Мн.: Бгу, 1998
3. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 2008.