Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа№1

Вариант №9

 

 

№9

 А(10;1) B(-6;13)

 

N BN-высота

 

С(1;-11)

 

 

А)  =       (уравнение прямой, проходящей через две известные точки)

 

АС:   =      

 

Уравнение прямой АС:        =    или   -12х+120=-9y+9;

                                                                             -4х+40=-3y+3;

                                                                              4х-40=3y-3;

                                                                              4х-37-3y=0  

Б) Уравнение пучка прямых,  проходящих через точку M(, имеет вид:

 

y-=k( х -

 

Угловой  коэффициент прямой  (BN) найдем из того условия, что BNAC

Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловой коэффициент 

K₁ , K₂

K₁= -  (При k₂ 0)

 

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂;y₂)     – k_(M1M2)=

K _(АС) =; K _(BN) = - и уравнение (BN) имеет вид:

  Y-13=- (х+6) y 

 

 

В)  В

M(x;y)  А

 х

 E BE- биссектриса угла В

 

 

 

 ВС: 

=

 

=

 

=

 

-24х-144=7y-91

-24х-7y-53=0

Нормальное уравнение ВС:

 

                                                  = 0

 

                                                  =0

 

Подставляем координаты точки  А  в нормальное уравнение:

   _А   = = =-12

D=|

Длина высоты, проведенная из вершины равна 12 ед. длины.

Г)

 

 

= {16;-12}

 

CosB= = = =0,8

 

 

B = Arccos0,8

 

Д)

 

 

AB : =

  

              =

 

=

 

                12х-120=-16y+16

                 12х+16y- 136=0

                3х+4y – 34 = 0

Нормальное уравнение  AB:

  = 0

 

= 0

 Нормальное уравнение ВС

 

 =0

 

 

 

Пусть точка М с координатами (х;y) принадлежит искомой биссектрисе. Т.к это точка и начало координат  лежат по одну сторону от сторон угла В, то отклонение этой точки от каждой из сторон отрицательно .т.е уравнение биссектрисы будет иметь вид т.е

=

 

15х + 20y – 170=-24х-7y – 53

39х +27y -117=0

13х + 9y - 39=0  (Уравнение биссектрисы угла В)

 

 

№19

 Пусть точка М (х;y) . По условию 2МА=MB

MA==

 

MB==

 

 

2=

Возведем в квадрат обе стороны  уравнения.

4((х+4)²+(y-3)²)=

 

4х²+32х+64+4y²-24y+36= х²-2х+1+ y²+4y+4

 

3х²+34х+95+3 y²-28y=0

 

3(х²+2 х)+3(y²- 2 y)+95=0

 

3(х² +2 х+)²) – 3)² +3(y²- 2 y +()²) – 3()² +95=0

 

3(х +)² + 3(y - )²= 3 + 3 - 95

 

3(х +)² + 3(y - )²=

 

3(х +)² + 3(y - )²=

 

(х +)² +(y - )²=  

 

(х - х₀)² + (y – y₀)²=R²

 

 Это уравнение окружности  с центром в точке M₀ ( ; и R= =

 

№29

Y=B х² ;

A (1;1)

1= B1B=1;

Y=х²

 

№39

 

А)  {х₂-х₁;y₂-y₁;z₂-z₁}

{6;0;-2}

 

==2

 

Б)={1;1;-1}

 

==

==

 

В) S_A1A2A3=||

где - векторное произведение векторов

 

=   -   + = 2+4+6

 

 

||= = =

 

 

S_A1A2A3 = =

 

Г)

 Уравнение  плоскости А₁А₂А₃

 

      = 0

 

 

 

(x-1) - (y-1) + (z-3) = 0

 

2(x-1) - (y-1)(-4) + (z – 3)6 = 0

 

2x – 2 +4y – 4 +6z – 18 = 0

 

x – 1 + 2y – 2 + 3z – 9 =0

 

x + 2y + 3z – 12 = 0

 

= 0

 

В нормальное уравнение плоскости  А₁А₂А₃ подставим координаты вершины А₄

 

H = | | =

 

Д)

 

Из уравнения А₁А₂А₃ x + 2y + 3z – 12 = 0 следует, что вектор нормали {1;2;3}, а так как прямая, определяющая высоту пирамиды перпендикулярна этой плоскости, то этот вектор является для данной прямой направляющим  и, следовательно, канонические уравнения высоты из точки А₄ имеет вид:

 

=

 

Е)

 V_A1A2A3A4= | , где- смешанное произведение векторов.

 

 

 

= = 1³⁺²   = -1 18

 

 

V_A1A2A3A4=куб.ед

  {-2;3;4}

№ 49

 

 

 

 

 

 A(-1;-3;1)

{1;6;2}

 

 

 

= =

 

 

=  =

 

 

 

Уравнение плоскости,  проходящей через точку А(-1;-3;1) можно записать в виде  А(х-1)+В(y+3)+С(z-1)=0 ,где

 

A,B,C – координаты вектора нормали.  В качестве вектора нормали можно взять вектор, который является векторным произведением направляющих векторов данных прямых (или ему коллинеарных)

=[

 

  =    -     + = -18 - 15

 

 

Получаем уравнение плоскости

-18(х+1)+8(y+3)-15(z-1)=0

 

-18x-18+8y+24-15z+15=0

-18x+8y-15z+21=0