Контрольная работа по "Математике"

 

Задание Д.1.

Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи считать камень материальной точкой и не учитывать сопротивление воздуха.

Дано:

Найти:

Решение:

Составить дифференциальное уравнение движения тела на участках АВ и ВС:

АВ:

Интегрируем 2 раза:

Начальные условия:

при

Участок ВС:

Интегрируем 2 раза:

начальные условия:

при

Ответ: d = 3.79м, f = 0,423.

 

Задание Д.6.

Шарик, принимаемый  за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной. Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках трением на криволинейных участках пренебречь.

Дано:

_Найти:

_{Решение:}

1. Движение шарика на участке АВ:

По теореме об изменении количества движения:

 - сумма работ

2. Движение по участку ВД:

По теореме об изменении количества движения:

_{Сумма импульсов сил:}

 

3. Движение шарика по участку DС:

Давление шарика на стенки канала

 

Задание Д.10.

Механическая система  под действием сил тяжести  приходит в движение из состояния  покоя; начальное положение системы  показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты  следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для  решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными  однородными цилиндрами. Наклонные  участки нитей параллельны соответствующим  наклонным плоскостям.

 

Дано:

								S
кг				см	см	град		м
m	1/4m	1/5m	1/10 m	20	15	60	0,1	0,16

.

Определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение:

Применим теорему  об изменении кинетической энергии  системы:

,

где и - кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системы, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых  систем, состоящих из абсолютно твёрдых  тел, соединённых нерастяжимыми  нитями и стержнями, = 0.

Так как в начальном  положении система находится  в покое, то = 0.

Следовательно, уравнение  принимает вид  .

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении  как сумму кинетических энергий  всех тел.

;

Кинетическая энергия  груза 1, движущегося поступательно,

.

Кинетическая энергия  катка 2, вращающегося вокруг оси Ох,

,

где - момент инерции блока 2 относительно оси Ох:

 и 

Получим

.

Кинетическая энергия  шатуна 3, совершающего плоское движение,

.

Так как скорости всех точек кривошипа параллельны, то мгновенный центр скоростей находится  в бесконечности. Поэтому  .

Учитывая  , получим:

.

Рассчитаем угол поворота тела 2:

, т. к.  и , получим:

.

Проинтегрировав (при  нулевых начальных условиях)

.

При таком повороте ползун пройдёт расстояние = .

Кинетическая энергия  груза 4, движущегося поступательно,

.

Кинетическая энергия  всей системы:

.

Найдём сумму  работ всех внешних сил, приложенных  к системе, на заданном её перемещении.

Работа силы тяжести 

.

Работа силы трения скольжения:

.

Работа силы тяжести 

.

Работа силы тяжести 

.

Сумма равна:

.

Приравниваем T и

 используя данные из таблицы  значений, получим:

м/с.

 

Задание Д.14.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину р.

Дано: , пружина растянута.

Найти:

1. Скорости и  возможные перемещения точек  системы:

2. Уравнение мощностей:

3. Уравнение работ: