Контрольная работа по "Матиматике"

Федеральное агентство связи

 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

 

По дисциплине: математика

                                  

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Тельных Т.Н

 

Группа: МЭТ-22

 

Вариант: №10

 

 

Проверил: ___________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск, 2012

 

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

 

 

 

Решение методом Крамера.

 

Запишем формулы  Крамера:

 

; ; ,

 

где ∆ - определитель системы;

      - определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

      - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

      - определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

 

 

 

∆= = 1+2-10-12+12-20 = -27

 

 

= = 31+62-40+36-80-36 = -27

 

= = 20-18-155+186+180-240 = -27

 

= = 9+20-90+120-155-93 = -189

 

Найдем значение неизвестных:

 

Χ =  = 1

Y = = 1

 

Z = = 7

 

Для проверки подставим найденные значения неизвестных  в исходную систему:

 

 

 

Ответ: χ = 1; y = 1; z = 7

 

Решение методом Гаусса

 

свободные члены представим в виде: B = ,

припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

 

А =

 

 

 

в итоге получим систему:

 

 

 

Z =

 

Y =

 

Χ =

 

Ответ: χ = 1; y = 1; z = 7.

 

 

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1. длину ребра А₁А₂;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. площадь грани А₁А₂А₃;
4. уравнение плоскости А₁А₂А₃.
5. объём пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Где    А₁ ( 6; 6; 5), А₂ ( 4; 9; 5), А₃ ( 4; 6; 11), А₄ ( 6; 9; 3)

Решение:

1. Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле:

 

 

Подставляя в эту формулу  исходные данные, получим:

 

 

2. Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:

;    ;   ;

В нашем случае    ,  .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

 

 

 

 

 

3. Площадь треугольника   А₁А₂А₃    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

 

 

 

Имеем,

(кв.ед.)

 

Итак, площадь грани  А₁А₂А₃    равна 11.225 (кв.ед.) 

4. Уравнение плоскости  А₁А₂А₃ будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,  и :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Объем пирамиды   А₁А₂А₃А₄ найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно:

 

Найдем  смешанное произведение векторов  ,     и    :

 

  (куб.ед.)

Ответы:

1. длина ребра равна (ед.)
2. угол между ребрами и равен
3. площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
4. уравнение плоскости (в общем виде):
5. объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).

Задача 3. Найти пределы функции.

а)  

 

 

б)   

     

в) 

Задание 4. Найти значение производных данных функций в точке x=0:

 

 

 

 

 

В точке , производная равна:

 

Задача 5. Провести исследование функций с указанием: а) области определения и точек разрыва; б) экстремумов; с) асимптот.

По  полученным данным построить графики  функций.

 

а) Функция при

 

 

б) найдем экстремумы

 

 

исследуем монотонность функции,  определив  знак производной 

 

 

    

с) вертикальная асимптота

 

 

 

  наклонная асимптота

Задача 6. Найти неопределенные интегралы

 

1.  

 введем переменную   ,тогда

 

 

б)   

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Вычислить площади областей, заключённых между линиями:

;    

 

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

 

 

 

   

точки пересечения  

 

 

 

 

 

Площадь фигуры найдем, используя  формулу

 

 

Ответ: площадь равна       (квадратных единиц).