Контрольная работа по "Теория вероятностей"

1. Какова вероятность выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?

 

Решение.

Пусть событие А – угадано 6 номеров из 49. Так как угадано 6 номеров, то число элементарных событий, благоприятных событию А, равно 6, т. е. m = 6 и общее число номеров n = 49, то вероятность выиграть главный приз в спортлото равна .

 

Ответ: 0,122.

 

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го - 0.85. Найти вероятность того, что в течение часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего.

 

Решение.

Пусть событие А – не потребует внимания 1 станок, событие В – не потребует внимание 2 станок, событие С – не потребует внимание 3 станок.

Тогда .

 

1) ни один станок не потребует внимания: .

 

2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания

(вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение часа);

(вероятность того, что второй станок потребует внимания рабочего в течение часа);

(вероятность того, что третий станок потребует внимания рабочего в течение часа).

Тогда (вероятность того, что одновременно внимания рабочего в течение часа потребуют все 3 станка).

Событие является противоположным событию, что по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего в течение часа. Тогда искомая вероятность .

 

Ответ: 1) 0,612; 2) 0,997.

3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0.09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3-х человек в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере, один из них будет жив.

 

Решение.

Имеем схему Бернулли с параметрами (вероятность того, что человек умрет), (количество человек), (число «успехов», живых людей). Будем использовать формулу Бернулли: .

Тогда получаем:

 

 – вероятность  того, что через год будут живы  все трое.

 

2) – вероятность того, что по крайней мере один человек будет жить (через вероятность противоположного события).

 

Ответ: 1) 0,000729; 2) 0,246429.

 

4. Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта – 9%, третьего сорта – 14%, четвертого сорта – 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта – 0,08, для пшеницы третьего сорта – 0,04, для четвертого сорта – 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

 

Решение.

Пусть событие А – из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. Возможны четыре гипотезы:

Н1 - колос вырастет из зерна первого сорта;

Н2 - колос вырастет из зерна второго сорта;

Н3 - колос вырастет из зерна третьего сорта;

Н4 - колос вырастет из зерна четвертого сорта.

Тогда вероятности этих гипотез:

;

;

 

.

При этом условные вероятности запишутся следующим образом:

 

;

;

.

Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности:

.

 

Ответ: 0,0428.

 

5. Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0.8, для остальных - 0.4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

 

Решение.

Пусть событие А – студент не решил задачу на экзамене. Тогда возможны две гипотезы:

Н1 - студент успешно написал контрольную работу;

Н2 - студент не написал контрольную работу.

Тогда вероятности этих гипотез:

;

.

При этом условные вероятности запишутся следующим образом:

 

.

Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности:

.

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что если студент не решил задачу на экзамене, то он не написал контрольную, по формуле Байеса:

 

 

Таким образом, вероятность того, что студент не написал контрольную работу, равна 0,5385.

 

Ответ: 0,5385. дискретный дисперсия случайный