Контрольная работа по "Векторной алгебре"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №1

по курсу высшей математики

вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

 

студент ЗОЭ-13321

Озиев Магомед Хусенович

Преподаватель:

Дулина Ксения Михайловна

 

 

 

МЭСИ 2013

 

Задание 1(1):

Даны вершины треугольника АВС: А(5,3), В(-11,-9), С(-4,15), найти:

а) уравнение стороны АС;

б) уравнение высоты из вершины В;

в) длину высоты из вершины А;

г) величину в радианах угла В;

д) уравнение биссектрисы угла В;

а) уравнение стороны АС:

 

Ответ: 4х+3у-29 = 0

б) уравнение высоты из вершины В:

направляющий вектор искомой высоты будет нормалью стороны АС т.е. таким образом наше уравнение можно записать в виде   или после небольших преобразований 3х-4у-3=0

Ответ: 3х-4у-3=0

в) длину высоты из вершины А:

найдем для начала уравнение стороны ВС: 24(x+4)=7(y-15) => 24x-7у+201=0, теперь находим расстояние от точки А(5,3) до прямой 24х-7у+201=0 по формуле:

 

 

 

Ответ: 12

г) величину в радианах угла В:

Косинус угла между двумя векторами равен отношению скалярного произведения этих векторов на произведение их длин:

 

 

 

 

 

Ответ: 0,6435

д) уравнение биссектрисы угла В:

находим орты и векторов и соответственно:

; и на полученных единичных векторах как на сторонах построим ромб, диагональ которого и будет являться искомой биссектрисой

 отсюда получаем  уравнение:

  либо 39х-27у+186 = 0 => 13х-9у+62=0

Ответ: 13х-9у+62=0

 

Задание 2(11):

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше, чем расстояние от прямой х+1=0.

Заданная линия кривая второго порядка, а именно эллипс. При этом данная точка является его фокусом а прямая директрисой. Эксцентриситет по определению равен . Фокальный параметр .

Малая полуось ;   Большая полуось

Центром эллипса будет точка О(2+;-2)=(3;-2)

Уравнение искомого эллипса:

Ответ:

 

Задание 3(21):

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а расстояние между директрисами 16.

Большая полуось ;   расстояние между директрисами => ;      малая полуось

Получаем уравнение эллипса

Ответ:

Задание 4(31): Даны вершины A1(7,0,3), A2(3,0,-1),A3(3,0,5),A4(4,3,-2) пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

а) длину ребра А1А2

б)угол между ребрами А1А2 и А1А3

в) площадь грани А1А2А3

г) длину высоты пирамиды проведенной из вершины А4

д) уравнение высоты из А4

е) объем пирамиды А1А2А3А4

а)длина ребра А1А2:

 

Ответ:

б) угол между ребрами А1А2 и А1А3:

 

 

;  => 

Ответ: 1,249

в) площадь грани А1А2А3:

 

Ответ: 12

г) длина высоты пирамиды проведенной из вершины А4:

так как три остальные точки, а значит и основание пирамиды лежат в координатной плоскости XZ, то высота будет равна абсолютному значению ординаты т.е. 3

Ответ: 3

д) уравнение высоты из А4:

обозначим через О точку пересечения высоты с основанием, ее координаты (4,0,-2) так как ищем параметрическую форму записи уравнения

;       

Ответ:

е) объем пирамиды А1А2А3А4:

подставляем ранее найденные значения площади основания и длины высоты в формулу

 

Ответ:12

Задание 5(41):

Составить уравнение плоскости проходящей через прямую и точку A(4,6,-3):

Возьмем некую точку B принадлежащую нашей прямой (1,-2,0), вектор направляющий вектор прямой , вектор нормали нашей плоскости будет перпендикулярен обоим векторам

 

Уравнение плоскости можем записать в виде -19x+12y+13z+D=0, подставив сюда координаты точки находим оставшийся коэффициент : -76+72-39+D=0 => D=43 => -19x+12y+13z+43=0

Ответ: -19x+12y+13z+43=0