Контрольная работа по "Вычислительная математика"

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,921875.

Итерация 6.

F(0,9296875) = –0,05   | F(0,9296875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = 0,9296875.

Вычисли 2-ую производную  f ¢¢= 20cos(3,03125) + 99sin(3,03125) = –8,98 < 0, значит это точка максимума.

fmах (0,9296875) = 586,447

 

Ответ:    x = 0,9296875; fmах (0,9296875) = 586,447

 

Найти один корень уравнения:

 

Для нахождения экстремума методом касательных надо решить уравнение

F ¢(x) = 24cos3x – 9sin3x

Если х0 –  начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Минимум лежит в пределах [-0,5; 0].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х0 = 0.

F(х0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

F '(х0) = 24

   х1= 0 – 0,333 = –0,333

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х1= –0.125.

F(х1) = –0,1387

   х2= –0,125 + 0,0058 = –0,1192

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х2= –0,1192.

F(х2) = 0,0094

F '(–0,1192) = 25,6320

  

Точность достигнута.

fmin (–0,1192) = –0,135

Максимум лежит в пределах [0,5; 1].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х0 = 1.

F(х0) = 1,8410

F '(х0) = 25,0299

   х1= 1 – 0,0736 = 0,9264

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х1= 0,9264.

F(х1) = 0,0297

   х2= 0,9264 + 0,0012 = 0,9276

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х2= 0,9276.

F(х2) = –0,0007

  

Точность достигнута.

fmах (0,9276) = 586,540

Ответ:  293,156 по методу дихотомии;

    293,203 по методу касательных

 

5. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка

Методом Рунге - Кутта найти решение на отрезке [a, b] дифференциального уравнений вида при заданных начальных условиях с указанным шагом h

Решение.

Метод Рунге - Кутта описывается системой следующих соотношений:

yi+1 = yi + Dyi или yi+1 = yi +

где k1 = h×f(xi, yi)

Из начальных условий имеем х0 = 0, у0 = 1, h = 0,01. Найдем первое приближение у1= у0 + Dу0, где

= 0,1× = 0,1

= 0,1× = 0,10488

= 0,1× = 0,10512

= 0,1× = 0,11001

Следовательно, 

и у1= 0 + 0,105 = 0,105.

Дальнейшее решение уравнения представлено в таблице.

		Х	y		k	Dy
0	0	1	0	1	0,1	0,1
	1	1,05	0,05	1,048752	0,10488	0,20975
	2	1,05	0,05244	1,051187	0,10512	0,21024
	3	1,1	0,10512	1,100118	0,11001	0,11001
						0,10500
1	0	1,1	0,10500	1,1	0,11000	0,11000
	1	1,15	0,16000	1,148763	0,11488	0,22975
	2	1,15	0,16244	1,151177	0,11512	0,23024
	3	1,2	0,22012	1,200116	0,12001	0,12001
						0,11500
2	0	1,2	0,22000	1,2	0,12000	0,12000
	1	1,25	0,28000	1,248781	0,12488	0,24976
	2	1,25	0,28244	1,25116	0,12512	0,25023
	3	1,3	0,34512	1,300112	0,13001	0,13001
						0,12500
3	0	1,3	0,34500	1,3	0,13000	0,13000
	1	1,35	0,41000	1,348804	0,13488	0,26976
	2	1,35	0,41244	1,351139	0,13511	0,27023
	3	1,4	0,48011	1,400107	0,14001	0,14001
						0,13500
4	0	1,4	0,48000	1,4	0,14000	0,14000
	1	1,45	0,55000	1,448832	0,14488	0,28977
	2	1,45	0,55244	1,451114	0,14511	0,29022
	3	1,5	0,62511	1,500102	0,15001	0,15001
						0,14500
5	0	1,5	0,62500	1,5	0,15000	0,15000
	1	1,55	0,70000	1,548861	0,15489	0,30977
	2	1,55	0,70244	1,551087	0,15511	0,31022
	3	1,6	0,78011	1,600097	0,16001	0,16001
						0,15500
6	0	1,6	0,78000	1,599999	0,16000	0,16000
	1	1,65	0,86000	1,648892	0,16489	0,32978
	2	1,65	0,86244	1,651059	0,16511	0,33021
	3	1,7	0,94511	1,700092	0,17001	0,17001
						0,16500
7	0	1,7	0,94500	1,699999	0,17000	0,17000
	1	1,75	1,03000	1,748923	0,17489	0,34978
	2	1,75	1,03245	1,75103	0,17510	0,35021
	3	1,8	1,12010	1,800087	0,18001	0,18001
						0,17500
8	0	1,8	1,12000	1,799999	0,18000	0,18000
	1	1,85	1,21000	1,848954	0,18490	0,36979
	2	1,85	1,21245	1,851001	0,18510	0,37020
	3	1,9	1,30510	1,900082	0,19001	0,19001
						0,18500
9	0	1,9	1,30500	1,899999	0,19000	0,19000
	1	1,95	1,40000	1,948984	0,19490	0,38980
	2	1,95	1,40245	1,950973	0,19510	0,39019
	3	2	1,50010	2,000077	0,20001	0,20001
	10					0,19500
		2	1,50000

Таким образом, окончательно имеем у ¢(2) = 1,5.

 

Литература

Основная:

 

1. Поршнев С.В. Вычислительная математика. – СПб.: Питер, 2004. – 320 с.: ил.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Бином, 2004. – 631 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Академия, 2005

4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.М. Кремера. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2007

 

 

Дополнительная

:

1. Дорофеева А.В. Высшая математика. – М.: Дрофа, 2003. – 384 с.: ил.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Часть 1. – М.: ОНИКС, 2006
3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Часть 2. – М.: ОНИКС, 2006
4. Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 392 с.