Контрольная работа по «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический  университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Высшая математика»

Вариант №5

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студент(ка)

Направление: менеджмент

Профиль: производственный менеджмент

Группа: ПМп-12Р

Ф.И.О Морозова А.В.

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2012

Задание 1.

 

Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

k=4, m=-2

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

c_ij=ka_ij+mb_ij.

Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:

с₁₁=4·2+2·3=14; с₁₂=4·(-1)+2 7=10; с₁₃=4·4+2 (-2)=12.

Аналогично вычисляем  остальные элементы:

С₂₁=4·6+2 9=42; с₂₂=4·3+2 1=14; с₂₃=4·0+2 6=12.

С₃₁=4·(-7)+2 (-4)=-36; с₃₂=4·5+2 8=36; с₃₃=4·9+2 5=46.

Таким образом, матрица  суммы примет вид:

 

Задание 2.

 

Вычислить определитель третьего порядка 

Решение:

Определителем третьего порядка матрицы 

 

называется число, которое определяется следующим образом:

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:

 

 

 

Используя правило треугольников, вычислим определитель:

 

Задание 3.

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение:

Составляем расширенную матрицу  системы, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:

Чтобы исключить переменную из второго и третьего уравнений, умножим первую строку на (-3) и прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению:

 

Поменяем местами уравнения 1 и 2

Умножим коэффициенты первого  уравнения на (-2) и прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению:

Умножим коэффициенты первого  уравнения на (-7) и прибавим получившееся уравнение к третьему уравнению:

Исключим переменную x₂ из последнего уравнения.

Решать систему уравнений в  целых числах удобнее для этого  мы умножим коэффициенты уравнения  два на 67, а коэффициенты уравнения  три на (-25):

Прибавим уравнение  два к уравнению три:

Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе – две, а третье – одну переменную:

Отсюда последовательно находим:

Запишем ответ в десятичных дробях:

Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:

Получили тождественные равенства, следовательно, система решена правильно.

 

Задание 4.

 

Найти косинус угла между  векторами  и , если А(2; -1; 5), если  В(6; 1; 4) и С(7; 0; 2).

Решение:

По координатам концов найдем эти векторы

Отсюда 

Найдем скалярное произведение

Применяя теперь формулу, получим

 

Задание 5.

 

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(2;7;6);

В(-1;3;4); С(5;-1;4) и D(0;7;4)

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся  в точках А, В, С и D равен:

. Вычислим объем тетраэдра  АВСD:

С другой, стороны объем  тетраэдра равен  . Откуда высота равна: . В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется как модуль векторного произведения векторов и :

. Тогда площадь основания и высота тетраэдра .

 

Задание 6.

 

Написать уравнение  плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярно вектору , если М₁ (2;-1; 0), М₂ (6;5;4), М₃ (7;9;2).

Решение:

Найдем координаты вектора  нормали  к плоскости  

Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , где А, В, С – координаты вектора нормали:   . В нашем случае А=1; В=4; С=-2, тогда уравнение плоскости примет вид:

   

 

Задание 7.

 

Вычислить угол между  плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если А₁=2; В₁=-1; С₁=0; D₁=6; А₂=5; В₂=4; С₂=7; D₂=9.

Решение:

Угол между двумя  плоскостями определяется по формуле:

Таким образом, получаем

Тогда угол между плоскостями  равен: .