Контрольная работа по "Высшая математика"

Задание 1

В декартовой прямоугольной  системе координат даны вершины  пирамиды А₁,В₁, С₁, Д₁.  А₁(3,0,-1), В₁(-1,-2,-4), С₁(-1,2,4), D₁(7,-3,1).

Найдите:

а) длину ребра  А₁В₁;

Решение:

| А₁В_1‌|=√(-1-3)²+(-2-0)²+(-4-(-1))²=√16+4+9=√29≈5,39 (ед);

б) косинус угла между векторами А₁В₁ и А₁С₁;

Решение:

А₁В₁=(-4, -2,-3);

А₁С₁=(-4, 2, 5).

Cos(А₁В₁ ^ А₁С₁)=

Cos(А₁В₁ ^ А₁С₁)=

в) уравнение ребра А₁В₁;

Решение:

‌‌ А₁В_1‌:

Координаты точки А₁(3,0,-1) обозначим соответственно Х₀ = 3, У₀ = 0, Z₀ = 1, а координаты точки В₁(-1,-2,-4) через X₁ = -1, У₁ = -2, Z₁ = -4 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид:

 

 

 

г) уравнение грани А₁В₁С₁;

Решение:

А₁В₁С₁:

Уравнение каждой плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0. Так что наша задача по заданным координатам 3-ех точек плоскости найти коэффициенты A, B, C и D. Эти коэффициенты находятся по формулам:

 где x, y, z - координаты  наших точек, а 1-2-3 это номера  точек A-B-C.

Соответственно находим  эти коэффициенты и подставляем  их в формулу.

Рассчитаем  коэффициенты A, B, C и D по формулам, описанным  выше.

Кэффициенты:

A = (1) × (-2) × (4) + (0) × (-4) × (1) + (-1) × (1) × (2) - (-1) × (-2) ×  (1) - (0) × (1) × (4) - (1) × (-4) × (2)

B = (3) × (1) × (4) + (1) × (-4) × (-1) + (-1) × (-1) × (1) - (-1) × (1) ×  (-1) - (1) × (-1) × (4) - (3) × (-4) × (1)

C = (3) × (-2) × (1) + (0) × (1) × (-1) + (1) × (-1) × (2) - (1) × (-2) ×  (-1) - (0) × (-1) × (1) - (3) × (1) × (2)

- D = (3) × (-2) × (4) + (0) ×  (-4) × (-1) + (-1) × (-1) × (2) - (-1) × (-2) × (-1) - (0) × (-1) × (4) - (3) × (-4) ×  (2)

A = -4

B = 32

C = -16

- D = 4

Подставим коэффициенты. Уравнение плоскости:

-4 x + 32 y - 16 z - 4 = 0

д) уравнение  высоты, опущенной из вершины D₁ на грань А₁В₁С₁;

Решение:

Точка D₁ (7 ,-3,1 )

Плоскость А₁В₁С₁:

-4 x +32 y -16 z - 7 = 0.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку D₁ (-5 ,2,-8) и параллельной нормальному вектору n(-4, 32,-16) грани А₁В₁С₁:

 

 

Искомое уравнение;

е) координаты векторов е₁= А₁В₁, е₂= А₁С₁, е₃=А₁D₁ и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

Решение:

е₁=А₁В₁=(-4, -2,-3);

е₂= А₁С₁=(-4, 2, 5);

е₃=А₁D₁=(4,-3,2).

Составим определитель и найдем его:

 

 

 

 

 

Определитель = -144 и отличен от нуля, следовательно система векторов

(е₁, е₂, е₃) линейно независима.

ж) координаты вектора MN, где M и N- середины ребер А₁D₁ и В₁С₁ соответственно;

Решение:

M=(5; -1,5;0)

N=(3;-2,5;0)

MN=(-2;-1,5;0);

з)  разложение вектора MN по базису (е₁, е₂, е₃).

Решение:

-4х₁-2х₂-3х₃=-2

-4х₁+2х₂+5х₃=-1,5

4х₁-3х₂+2х₃=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Решите систему линейных уравнений

  а) методом Крамера;

  б) методом Гаусса;

в) с  помощью обратной матрицы;

   2х-3у+z=1

   х+у+z=6

   х- у-z=0

Решение:

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера. Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Тогда , где

Так как  Δx=-24 ; Δy=-16 ; Δz=-8; Δ=-8 , то x=3; y=2; z=1

б) Метод Гаусса.

 

 

Матрица треугольная. Следовательно, существует единственное решение.

 

z = 2

y = - 5 + 8

y = 3

x + 3 + 2 = 6

x = 1

Ответ: x = 1; y = 3; z = 2.

 

1. Матричный метод.
1. Первое условие - матрица квадратная;
2. Второе условие .

3. Вывод: решение есть и оно единственное.

 

 

 

Проверка:

 

 

Ответ: x = 1, y = 3, z = 2.

 

 

Задание 3

В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них "Жигулевское". Случайным образом выбирают три бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них:

а) только пиво сорта "Жигулевское";

б) ровно  одна бутылка этого сорта.

Решение: Вариант 1

1. m - число благоприятствующих исходов;
2. n - общее число всех возможных исходов;

 

;

;

;

 

Ответ: вероятность того, что среди  выбранных бутылок будут только бутылки пива сорта "Жигулевское", равна 0,025.

Вариант 2

 

1. ;
2. ;

 

Ответ: вероятность того, что среди  выбранных бутылок будет одна бутылка пива сорта "Жигулевское", равна 0,485.

 

Задание 4

В двух одинаковых коробках находятся карандаши «Конструктор». Известно, что треть карандашей в первой коробке и ¼ во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из неё наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен из первой коробки?

Решение:

Обозначим через А событие - «карандаш твердости ТМ». Возможны следующие гипотезы о происхождении этого карандаша:

H₁- карандаш извлечен из первой коробки, H₂-карандаш извлечен из второй коробки . Так как доля карандашей ТМ из первой коробки 33 %, а из второй 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно: p(H₁)= =0,33; p(H₂)= =0,25.

Условная  вероятность того, что карандаш ТМ из первой коробки – p(A/H₁)=0,67, из второй - p(A/H₂)= 0,75. Искомую вероятность того, что карандаш ТМ из первой коробки, находим по формуле полной вероятности:

р(А)=P(H₁)·p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,33*0,67+0,75*0,25 =0,4097

Ответ: р(А) = 0,4097

Задание 5

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х	-2	-1	0	1	2	3	4
р	0,16	0,25	0,25	0,16	0,10	р	0,03

Найти:

а) неизвестную  вероятность р;

Решение:

0,16+0,25+0,25+0,16+0,10+р+0,03=1

0,95+р=1

р=0,05

б) математическое ожидание М, дисперсию Д и среднее  квадратическое отклонение σ данной случайной величины;

Математическое  ожидание дискретного распределения равняется:

M(x) = (0,16) × (-2) + (0,25) × (-1) + (0,25) × (0) + (0,16) × (1) + (0,1) × (2) + (0,05) × (3) + (0,03) ×  (4) = 0,06

Дисперсия дискретного распределения равняется:

D(x) = (0.16) × (-2)² + (0.25) × (-1)² + (0.25) × (0)² + (0.16) × (1)² + (0.1) × (2)² + (0.05) × (3)² + (0.03) × (4)² - M²(x) =

2.38 - 0.06² = 2.3764

Среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величины

  σ=√ D(x)

σ=√2.3764

σ=1,542

в) функцию  распределения F(х) и построить ее график;

если  х≤-2, то F(х)=0

-2<х≤-1, то F(х)=0,16

-1<х≤0, то F(х)=0,16+0,25=0,41

0<х≤1, то F(х)=0,41+0,25=0,66

1<х≤2, то F(х)=0,66+0,16=0,82

2<х≤3, то F(х)=0,82+0,10=0,92

3<х≤4, то F(х)=0,92+0,05=0,97

х>4, то F(х)=0,97+0,03=1

График:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) закон  распределения случайной величины У, если ее значения заданы функциональной зависимостью у=4|х|-1.

х	-2	-1	0	1	2	3	4
р	0,16	0,25	0,25	0,16	0,10	р	0,03

 

х	-2	-1	0	1	2	3	4
у	7	3	-1	3	7	11	15

Закон распределения выглядит следующим  образом:

у	-1	3	7	11	15
Р(у)	0,25	0,41	0,26	0,05	0,03

 

Задание 6

Известно, что  вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется:

а) 150 мальчиков; б) от 150 до 200 мальчиков?

Решение:

а) 150 мальчиков;

Если  вероятность p появления события  А в каждом испытании постоянна  и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

Используется  локальная теорема  Муавра-Лапласа  
Р(150,300)=(1/8,66)*φ((150-153)/8,66)≈  
(1/8,66)*φ(-0,35)=0,3752/8,66=0,04333

б) от 150 до 200 мальчиков;

Если  вероятность p наступления события  А в каждом испытании постоянна  и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие  А появится в n испытаниях от k 1 до, k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

Используется  интегральная т-ма Муавра-Лапласа:  
Р(150 < X < 200))=Ф((200-153)/8,7)-Ф((150-153)/8,7)  
≈Ф(5,43)-Ф(-0,35)=0,5+0,136=0,636