Контрольная работа по "Высшая математика"

ВАРИАНТ 12

Контрольная работа №3

 

Задание №1

 

Большая корпорация проводит набор стажеров менеджеров, 30% которых имеют университетское образование. 45% набранных стажеров в конце концов получают позицию менеджера в корпорации. Однако процент работников, достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер, получивший свою позицию через корпоративную стажировку, имеет университетское образование?

 

Решение:

Обозначим А – событие состоящее в том, что стажер стал менеджером.

можно выдвинуть две гипотезы:

– стажер имеет университетское образование

– стажер не имеет университетское образование

Условная вероятность, того, что стажер, имеющий высшее образование, станет менеджером

Вероятность того, что стажер, ставший менеджером, имел высшее образование, найдем по формуле Байеса:

Ответ:

 

Задание №2

       В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

 

Решение:

Найдем число сочетаний из восьми заказов два выбранных наугад заказа=

Вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны =

Ответ:0,357

 

 

Задание №3

         Экспериментальная лаборатория института растениеводства получила семена редкого вида пшеницы. Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х – число взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип распределения случайной величины.

а)  Составить таблицу распределения Х.

б)   Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в)   Построить график функции распределения y = F(x)

      г)   Найти вероятность  P(X<3).

 

 

 

Решение:

 

По условию задачи:

n=5

р = 0,8

Воспользуемся формулой Бернулли:

Р (Х=k) =

 

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 0:

Р (Х=0) =

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 1:

Р (Х=1) =

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 2:

Р (Х=2) =

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 3:

Р (Х=3) =

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 4:

Р (Х=4) =

Найдем вероятность того, что из пяти посаженных семян взошло 5:

Р (Х=5) =

 

а) Составим таблицу распределения:

 

Хi	0	1	2	3	4	5
Рi	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

 

б) Найдем математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

M(X) = = 0*0,00032 + 1*0,0064+ 2*0,0512 + 3*0,2048+ 4*0,4096+ 5*0,32768 = 4

Для вычисления дисперсии рассчитаем M2(X):

M2(X) = =02*0,00032 + 12*0,0064+ 22*0,0512 + 32*0,2048+ 42*0,4096+ 52*0,32768 =16,8

Тогда дисперсия:

D(Х) = M2(X) - (M(X)) 2 =16,8-42 = 0,8

 

Функция распределения случайной величины Х имеет вид:

в)

 

г) Найдем вероятность Р (X<3)

 

Р (X<3)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.00032+0.0064+0.0512=0.05792

 

 

 

 

 

Задание №4

          Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а среднеквадратическое отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

 

Решение:

 

Будем считать, что случайная величина X – вес пакета распределена по нормальному закону с  математическим ожиданием a=930 г и среднеквадратическим отклонением г. Для решения задачи воспользуемся формулой:

,

где а и - параметры нормального закона

- функция Лапласа.

Для того чтобы ответить на первый вопрос в задаче, мы должны найти вероятность

Т.е. 6,68% пакетов будут иметь вес до 900г.

Второй вопрос задачи отличается от первого тем, что доля и вероятность реализации значений случайной величины X задана, именно

 

Отсюда:

 

Т.к. для функции Лапласа справедливо , то

Из таблицы значений функции Лапласа найдем тот аргумент, при котором ее значение равно .

Таким образом, чтобы обеспечить требуемое условие, упаковочный аппарат должен быть переналажен на средний вес пакетов, равный 940г.

Ответ: 6,68% пакетов будут иметь вес до 900г.; упаковочный аппарат должен быть переналажен на средний вес пакетов, равный 940г.