Контрольная работа по Высшей математике

Содержание

 

Задание 1	2
Задание 2	6
Задание 3	9
Задание 4	13
Список использованной литературы	16

 

 

Задание 1

 

Вычислить пределы

 

 

Решение

 

 

В точке x = -1 функция непрерывна, значит, данный предел равен значению функции в этой точке

 

Подставляя значение x = 1, получаем неопределенность вида . Разложим квадратные трехчлены, входящие в числитель и знаменатель, на множители по формуле: ах² + bх + с = а(х-х₁)(х-х₂), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0

1)  х² – 3х + 2=0;

     D = b² – 4ас = 9 – 4×1×2 = 1;

Значит,

2)  ;

     –3х² – х + 4 = 0;

     3х² + х – 4 = 0;

     D = b² – 4ас = 1 – 4×3×(-4) = 49;

Значит,

Преобразуем заданный предел:

Таким образом, значение функции в точке х = 1 не существует, но предел этой функции при х®1 существует и равен .

 

При , получаем неопределенность вида .

Разделим числитель и знаменатель на x², получим:

Так как при  функции являются бесконечно малыми, то 

 

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные множители числителю и знаменателю , затем применим формулу разности квадратов, получим:

Для раскрытия неопределенности вида в данном примере воспользуемся первым замечательным пределом и одним из его следствий: , тогда заменив, предел произведения произведением пределов получим:

 

Имеем неопределенность вида [1^¥]; так как и

 

Здесь мы воспользовались  вторым замечательным пределом  , где при

 

Задание 2

 

Найти производные заданных функций:

 

 

 

Решение

 

При вычислении производной  мы использовали правило дифференцирования сложной функции и формулу дифференцирования степенной функции , а также правило дифференцирования алгебраической суммы

 

 

 

Здесь мы использовали правила дифференцирования произведения , дифференцирование сложной функции и формулы дифференцирования: ,

 

Применим правило дифференцирования  частного

Здесь была применена формула дифференцирования:

 

При вычислении производной мы использовали правило дифференцирования сложной функции и формулы дифференцирования:

 

Задание 3

 

Исследовать на сходимость:

а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд;

б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд, вычислить приближенно S»S₄  и  S»S₈ и оценить погрешность вычислений;

 в)  найти радиус степенного ряда и исследовать его сходимость на концах полученного интервала.

 

Решение

 

а)

Применим признак Даламбера:

Общий член ряда: ,

следующий член ряда:

 

Найдем отношение:

 

Рассчитаем предел

Так как  , то ряд сходится

 

б)

Применим признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда

Рассмотрим абсолютные величины членов данного ряда

 

Значит

 

Таким образом, знаки  членов заданного ряда чередуются, абсолютные величины членов не возрастают с ростом n и . Значит, заданный ряд сходится.

Вычислим приближенно S»S₄  и S»S₈ и оценим погрешность вычислений. Для подсчета суммы сходящегося ряда можно ограничится частичной суммой S_n, а остальные члены ряда отбросить, при этом погрешность возникающая, при замене S на S_n не превосходит по абсолютной величине модуля первого из отброшенных членов и имеет одинаковый с ним знак.

 

Погрешность вычисления

 

Погрешность вычисления

 

в)

 

Применим признак Даламбера:

Общий член ряда: ,

следующий член ряда:

Рассчитаем предел

 

Ряд сходится, если , раскроем модуль: ,

Значит, при  ряд сходится.

Исследуем поведение  ряда на концах интервала.

1) Пусть  , получаем ряд . Этот ряд является гармоническим и он расходится.

2) Пусть  , получаем ряд . Этот ряд является знакочередующимся.

По признаку Лейбница, так как и

 ряд  сходится.

При этом, ряд составленный из модулей  расходится, значит ряд сходится условно.

Таким образом, заданный ряд сходится абсолютно при  , при ряд сходится условно, при всех остальных значениях x ряд расходится. Область сходимости ряда

 

Задание 4

 

Найти неопределенные интегралы:

 

 

 

 

 

Решение

 

Так как  , то функцию подведем по дифференциал.

Получим:

, C = const

 

 

Числитель не является производной  от знаменателя, поэтому используем выделение полного квадрата в знаменателе.

;

Выполним замену переменной

  , тогда ; .

Подставим новую переменную в данный интеграл:

 

Рассчитаем интегралы

 

 

.

 

Таким образом,

 

При вычислении Á₂ была применена формула табличного интеграла:

 

Применим метод интегрирования по частям по формуле:

 

 

 

 

Так как , то функцию подведем по дифференциал.

 

Получим:

 

 

Список использованной литературы

 

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Часть 1. – М.: ОНИКС, 2006
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Часть 2. – М.: ОНИКС, 2006
3. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2003
4. Шипачев В.С. Курс высшей математики. – М.: Проспект, 2003