Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант №11

 

1. Решить системы  линейных уравнений методом Гаусса

1.11.

 

Решение:

Составляем соответствующую матрицу и преобразуем её.

Поменяет первую и третью строки местами

 

Последней матрице соответствует  система уравнений:

Таким образом мы получили систему двух уравнений относительно трёх неизвестных, общее решение  которых определяется формулами:

имеющая решение х₁=5-х₃, х₂=5-4х₃.

Ответ: х₁=5-х₃, х₂=5-4х₃.

 

(комментарий: запись значает, что ко второй строке добавили первую, умноженную на -3 или фактически из второй строки вычли утроенную первую)

 

2. Решить систему линейных уравнений:

а) по правилу  Крамера;

б) методом  обратной матрицы.

 

2.11

 

Решение:

a) Составим определитель системы Δ.

Вычислим по правилу треугольника.

Определитель системы  Δ=75≠0, т.е. данная система является невырожденной и имеет единственное решение , , где (k=1,2,3) определитель, полученный из определителя Δ заменой коэффициентов при не известной х_k столбцом свободных членов.

Составим эти определители.

       

Вычислим их также по правилу треугольника.

Тогда

, .

 

б)

Из пункта а) нам известен определитель матрицы. Т.к. он отличен от нуля, то система имеет единственное решение Х=А^-1В

Найдём А^-1.

Найдём алгебраические дополнения.

A₁₁=1+12=13; A₁₂=-(2-9)= 7; A₁₃=-8-3=-11; A₂₁=-(3+4)=-7; A₂₂=5-3=2;

A₂₃=-(-20-9)=29; A₃₁=9-1=8; A₃₂=-(15-2)=5; A₃₃=5-6=-1.

Х=

Ответ: ,

 

 

3. Найти неопределённые  интегралы. Результаты проверить  дифференцированием.

3.11.         а)                         б) 

                 в)                   г) 

 

Решение.

 

Введём новую переменную t по формуле , откуда

Переходя к новой переменной получаем:

Возвращаясь к переменной x, находим

Проверка:

Ответ:

 

б) 

Решение.

Т.к. cos²3x= то

 

Проверка:

.

Ответ: .

 

в) 

Решение.

Воспользуемся методом  интегрирования по частям.

Общая формула:

 

Полагая u=x, dv=cos3xdx=d( _sin3x), получаем du=dx, v= sin3x.

Следовательно,

Интеграл  вычислим введя новую переменную t по формуле t=3x, откуда 3dx=dt, dx= dt.

Переходя к новой переменной, получаем

Возвращаясь к переменной х, находим

Тогда исходный интеграл

обозначив - как С₁, получим

 

Проверка:

Ответ: .

 

г) 

 

Решение.

Так как  =х+6 + , то

 

 

Разлагая знаменатель  на множители х²-6х+5=х²-5x-x+5=x(x-5)- (x-5)= (x-1)* (x-5). В данном случае разложение в сумму элементарных дробей должно иметь вид

Откуда

31х-30=А(х-5)+В(х-1)

Полагая в этом тождестве х=5, находим 125=4В, т.е. B=125/4.

Придав х значение 1 найдём А 1=-4А, т.е. А=-1/4.

Таким образом

И получаем, что наш искомый интеграл

 

Проверка.

Ответ: .

 

 

 

4. Вычислить  по формуле Ньютона-Лейбница определённый  интеграл.

 

4.11.  

Решение.

Формула Ньютона-Лейбница

,

где F’(x)=f(x).

 

Ответ:

 

 

     5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной  параболой  и прямой . Сделать  чертёж.

 

5.11.       

Решение.

Данная фигура ограничена снизу дугой параболы, а сверху прямой.

Площадь найдём по формуле

где f₁(x) – уравнение параболы, f₂(x) – уравнение прямой.

Находим точки пересечения  параболы и прямой.

х²+4х=х+4

х²+3х-4=0

D=3²-4*(-4)*1=25

,

 

х₁=-4 b x₂=1 – абсциссы точек пересечения заданных линий; следовательно а=-4, b=1.

Таким образом, искомая площадь

 

Ответ: кв.ед.

(кв.ед. – квадратных  единиц, либо можно вообще не  указывать)

 

Чертёж

(Для графиков в тетради подпишите уравнения линий, а не названия как в диаграмме)

 

6. Найти общее  решение дифференциального уравнения.

 

6.11.

 

Решение.

Положим y=uv, тогда y’=u’v+uv’. Уравнение перепишем в виде

или

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда

Уравнение (*) при v= запишем так

_{Поднесём  x^-2 под знак дифференциала:}

 

Тогда

 

Следовательно

  - общее решение.

 

Ответ:

 

 

7. Найти частное  решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющего начальным условиям .

 

7.11.

 

 

Решение.

Общее решение данного  неоднородного дифференциального  уравнения находится по формуле 

(**)

где y₀ – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение неоднородного уравнения.

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения .

Характеристическое уравнение  имеет следующий вид 

Так как это уравнение имеет действительные корни k₁=4, k₂=-2, то общее решение однородного дифференциального уравнения таково:

Находим частное решение  исходного уравнения. Т.к. в данном случае (т.е. , где a=0, b=12, k=1, то ищем частное решение в виде

Находя производные  этой функции  и подставляя выражения для y, y’, y’’ в исходное уравнение, получим

Так как  – решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех х, т.е. является тождеством,

,

откуда

 

Следовательно частное  решение имеет вид 

На основании формулы (**) получаем общее решение исходного уравнения

Чтобы найти искомое  частное решение, подставим начальные  данные в выражения для y и y’, где

Подстановка этих данных приводит к системе уравнений:

Складывая удвоенное  первое уравнение со вторым получим 1=6С₁+ , откуда С₁= . Подставив его во второе находим С₂=– – С₁= = .

Следовательно, искомое  частное решение определяется формулой

Ответ:

 

 

     8. Найти область сходимости ряда  .

8.11

 

Решение.

Применяем признак Д’Аламбера, считая х фиксированным. Поскольку

то

Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т.е. . Так как при ряд расходится, то радиус сходимости R= ; интервал является интервалом сходимости. Исследуем поведение ряда на концах промежутка . При получаем знакочередующийся ряд

Этот ряд расходится, т.к. общий член ряда не стремится к нулю.

При получаем ряд

,

Который, как и предыдущий, расходится.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является открытый промежуток .

Ответ: .

 

 

Литература:  Справочник по высшей математике/ А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. 4-е изд. стереотип. Мн.: ТетраСистемс, 2002. – 640с.