Контрольная работа по "Высшей математике"

 

 

 

 

 

 

 

Полигон частот:

Гистограмма относительных частот:

в) Вычислим функцию распределения:

х 4,5 F*(х) = 0

4,5 х 15 F*(х) =

15 х 25,5 F*(х) = + =

25,5 х 36 F*(х) = + + =

36 х 46,5 F*(х) = + + + =

46,5 х 57 F*(х) = + + + + =

57 х 67,5 F*(х) = + + + + + =

67,5 х 78 F*(х) = + + + + + + =

х 78 F*(х) = + + + + + + = 1

Построим ее график:

г) Вычислим вначале , приняв их равными среднему арифметическому концов интервалов.

= = 9,75  = = 51,75

= = 20,25  = = 62,25

= = 30,75  = = 72,25

= = 41,25

=

= = 48,18

Дв =

=

= = 2509,2225

Дв = 2509,2225 – = 187,9101

= = 13,71

 = = = = 13,78

S = = 3,71

Ответ: = 48,18; Дв = 187,9101; = 13,71; = 13,78; S = 3,71

д) Доверительный интервал для математического ожидания:

 – t a + t, где = = = 0,475

По таблице находим значение t = 1,96.

48,18 – 1,96 a 48,18 + 1,96

48,18 – 2,68716 a 48,18 + 2,68716;

45,49284 a 50,86716.

Ответ: 45,49284 a 50,86716.

е) Найдем интервалы (; ), учитывая = 48,18, = 13,71 и составим таблицу:

N	Границы интервала				Границы интервала
					=	=
1	4,5	15	–	–33,18	–	–2,42
2	15	25,5	–33,18	–22,68	–2,42	–1,65
3	25,5	36	–22,68	–12,18	–1,65	–0,89
4	36	46,5	–12,18	–1,68	–0,89	–0,12
5	46,5	57	–1,68	8,82	–0,12	0,64
6	57	67,5	8,82	19,32	0,64	1,41
7	67,5	78	19,32	–	1,41	+

 

 

Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты              = n × = 100 × . Составим таблицу:

N	Границы интервала				Границы интервала
					=	= 100 ×
1	–	–2,42	–0,5000	–0,4922	0,0078	0,78
2	–2,42	–1,65	–0,4922	–0,4505	0,0417	4,17
3	–1,65	–0,89	–0,4505	–0,3133	0,1372	13,72
4	–0,89	–0,12	–0,3133	–0,0478	0,2655	26,55
5	–0,12	0,64	–0,0478	0,2389	0,2867	28,67
6	0,64	1,41	0,2389	0,4207	0,1818	18,18
7	1,41	+	0,4207	0,5000	0,0793	7,93
					1	100

 

 

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона.

Для этого составим расчетную таблицу:

=

N
1	1	0,78	0,22	0,0484	0,06	1,28
2	3	4,17	–1,17	1,3689	0,33	2,16
3	16	13,72	2,28	5,1984	0,38	18,66
4	24	26,55	–2,55	6,5025	0,24	21,69
5	29	28,67	0,33	0,1089	0,00	29,33
6	19	18,18	0,82	0,6724	0,04	19,86
7	8	7,93	0,07	0,0049	0,00	8,07
					1,05	101,05

 

 

Таким образом, = 101,05 – 100 = 1,05

Вычисления произведены верно.

Находим критическую точку правосторонней критической области .

x = 0,05; k = s – 3 = 7 – 3 = 4 (s – это число интервалов)

= 9,488

Так как , то нет оснований отвергнуть гипотенузу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Задание 7

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Результаты измерения признаков X и Y выборки приведены в корреляционной таблице. Найти:

а) числовые характеристики выборки;

б) уравнение линейной регрессии y на x.

в) выборочный коэффициент корреляции;

г) на чертеже построить уравнение регрессии Y на X и поле корреляции;

д) при уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотенузу = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

X      Y	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
225	3	6	2	–	–	–	–	11
375	1	4	5	1	3	–	–	14
525	1	3	8	10	2	2	7	33
675	–	6	2	9	8	4	–	29
825	–	–	2	5	1	2	–	10
975	–	–	–	–	2	1	–	3
	5	19	19	25	16	9	7	100

 

 

Решение:

а) Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, взяв в качестве ложных нулей = 525, = 0,4.

 

 

U      V	–3	–2	–1	0	1	2	3
–2	3	6	2	–	–	–	–	11
–1	1	4	5	1	3	–	–	14
0	1	3	8	10	2	2	7	33
1	–	6	2	9	8	4	–	29
2	–	–	2	5	1	2	–	10
3	–	–	–	–	2	1	–	3
	5	19	19	25	16	9	7	100

 

 

Найдем

= =

= 0,22

= =

= 0,17

Найдем вспомогательные величины:

= = = 1,54

 = =

= 2,36

Найдем σu, σv:

σu = = 1,22

σv = = 1,53

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем . Для этого составим таблицу:

U              V	–3			–2			–1			0			1			2			3			V =	u × V
–2		3	-6		6	-12		2	-4	–			–			–			–			–23	46
	-9			-12			-2
–1		1	-1		4	-4		5	-5		1	-1		3	-3	–			–			–13	13
	-3			-8			-5			0			3
0		1	0		3	0		8	0		10	0		2	0		2	0		7	0	10	0
	-3			-6			-8			0			2			4			21
1	–				6	6		2	2		9	9		8	8		4	4	–			2	2
				-12			-2			0			8			8
2	–			–				2	4		5	10		1	2		2	4	–			3	6
							-2			0			1			4
3	–			–			–			–				2	6		1	3	–			4	12
													2			2
U =	–7			–10			–3			18			13			11			0			u	79
v × U	21			20			3			0			13			22			0			79       u

 

 

Совпадение сумм свидетельствует о правильности вычислений. Найдем шаги h1 и h2:

h1 = 375 – 225 = 150; h2 = 0,2 – 0,1 = 0,1

Найдем , учитывая, что С1 = 525, С2 = 0,4

= × h1 + С1 = 0,22 × 150 + 525 = 558

= × h2 + С2 = –0,17 × 0,1 + 0,4 = 0,383

Найдем σx, σy:

σx = h1 × σu = 150 × 1,22 = 183

σy = h2 × σv = 0,1 × 1,53 = 0,153

в) Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

= = 0,44

б) Уравнение линейной регрессии y на х:

 –  = ;

 – 0,383 =  0,44 × (х – 558);

 – 0,383 =  0,00084 × (х – 558);

=  0,383 + 0,00084 х – 0,46872;

=  0,00084 х – 0,08572.

г)

 

X	225	375	525	675	825	975
Y	0,103	0,229	0,355	0,481	0,607	0,733

 

 

д) Найдем наблюдаемое значение критерия:

=   = 4,85

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид ≠ 0, поэтому критическая область – двухсторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости x = 0,01 и числу степеней свободы k = n – 2 = 100 – 2 = 98 находим критическую точку двухсторонней критической области (00,1; 98) = 2,63. Так как , то отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.