Контрольная работа по "Высшей математике"

1(а) Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

1(б)(Х-А)²+(Y-b)²=R^{2 -} общее уравнение окружности радиуса  R  с центром в точке C.\

Если центр окружности совпадает с началом координат, то общее уравнение примет вид  X²+Y²=R² Это уравнение называют  каноническим уравнением окружности.

3 Эллипсом ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и F2 , называемых  фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а  оси координат – его осями  симметрии. При  a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ  ( рис.1 ) , при  a < b  фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b  эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом,  окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок  F1F2 = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a ,  e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Определение 11.2. Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Эксцентриситетом эллипса  называется величина е=с/а

1. Выведите каноническое уравнение эллипса.

 

 

 

 

 

2.  Дайте определение гиперболы. Нарисуйте эту линию. Введите понятия центра гиперболы, фокусного и полуфокусного расстояний, диаметра гиперболы, действительной оси (полуоси), мнимой оси гиперболы, вершин и асимптот гиперболы. Покажите введенные понятия на рисунке. Определите эксцентриситет гиперболы.

Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и F2 , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

 

 

Уравнение гиперболы 

 

Здесь начало координат является центром  симметрии гиперболы, а оси координат  – её осями симметрии.

 

Отрезок  F1F2 = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется  действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a ,  e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые   y = ± ( b / a ) x  называются асимптотами гиперболы.

 

Пусть  Р ( х1 ,  у 1 ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

3. Выведите каноническое уравнение гиперболы.

4. Расскажите о равнобочной гиперболе.

Гиперболу, у которой а=в, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

Xy=a²\2 при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

 

5. Сформулируйте определение параболы и постройте ее. Покажите фокус и директрису параболы, вершину параболы.

Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой  директрисой параболы.

Уравнение параболы ( рис.1 ) :

y 2 = 2 p x .

6. Выведите каноническое уравнение параболы.

 

 

 

 

ПРИМЕРЫ

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

   Из уравнения параболы  получаем, что р = 4.

r =  x +  p/2 = 4; следовательно:

 x = 2;   y2 = 16;    y =  ±4.  Искомые точки:  M1(2; 4),   M2(2; -4).

Привести уравнение x2 - 6·x·y + y2 − 4·x − 4·y + 12 = 0 к каноническому виду и построить график этой линии.

 Решение. Здесь А = 1, В = − 3, С = 1. Поэтому

A·C - B2 = − 8 < 0

 и линия имеет гиперболический  тип. Выполним преобразование  сдвига 

Раскрыв скобки, получим

 

Решив систему уравнений 

 

 получим координаты  точки х0 = − 1, у0 = − 1, в которую необходимо совершить параллельный сдвиг начала системы координат. В новой системе координат линия будет иметь уравнение

 

 Выполним поворот системы  координат на угол α по формулам 

х' = x'' ·cos α − y'' · sin α , y' = x'' ·sin α + y'' ·cos α.

 В этом случае уравнение  линии примет вид 

 Для того чтобы в  уравнении линии не было смешанного  произведения переменных, положим a=n\4 . В этом случае уравнение линии примет вид или в каноническом виде уравнение гиперболы