Контрольное задание по «Методы оптимальных решений»

Контрольное задание по дисциплине «Методы оптимальных решений».

 

1. Что такое инструментальные переменные и параметры математической модели? В чем состоит их отличие?

 

Пусть имеются факторы Z, некоррелированые со случайными ошибками, количество которых равно количеству исходных факторов. Эти переменные называются инструментальными переменными.

Параметр модели — относительно постоянный показатель, характеризующий моделируемую систему (элемент системы) или процесс.

 

2. Что такое допустимое множество?

 

Допустимое множество – это множество допустимых значений переменных задачи линейного программирования.

 

3. Что такое критерий оптимизации и целевая функция?

 

Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.

Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных

 

4. Что такое линии уровня целевой функции?

 

 Линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение.

Линия уровня ЦФ строится перпендикулярно радиус-вектору  (градиента целевой функции).

 

5. Дайте формулировку детерминированной статической задачи оптимизации.

 

 В самом общем случае детерминированная задача состоит в нахождении максимума или минимума целевой функции

                                            (1) 
при условии, что переменные удовлетворяют соотношениям 
(2) 
,                                       (3) 
где q и gi – некоторые известные функции n переменных;

bi - заданные числа.

Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической.

 

6. Назовите причины неопределенности в параметрах математической модели и объясните ее влияние на решение.

 

При построении математических моделей возникают случаи, когда некоторые входные величины не определены и найти их численные значения не представляется возможным. Таким образом возникает, так называемая, неопределенность в параметрах математической модели, которая приводит к усложнению нахождения решения.

 

7. Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов.

 

Примером использования математических моделей для описания поведения экономических агентов может быть знаменитый труд Иоганна фон Тюнена «Изолированное государство», в котором была изложена достаточно полная и абстрактная модель поведения экономического агента, созданная с применением математического аппарата.

 

8. Что такое рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации?

 

Согласно Хайеку рациональным поведением можно назвать такой тип поведения, которое «нацелено на получение строго определенных результатов».

В экономической теории используются следующие две основные модели рационального поведения:

- Рациональность (как таковая);

- Следование своим интересам.

 

9. Как методы оптимизации используются при принятии экономических решений?

 

При принятии экономических решений используются точные и приближенные методы решения. Например: решение задач линейного программирования (простой перебор, направленный перебор, симплексный метод), целочисленного программирования (Метод приближения непрерывными задачами, метод направленного беребора) и другие.

 

10. Расскажите об использовании оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей.

 

Задачи идентификации параметров математических моделей формулируются как задачи математического программирования, в которых целевая функция—оценка степени совпадения выходных параметров, получаемых с помощью испытуемой и эталонной моделей, а управляемые параметры—оптимизированные параметры испытуемой математической модели. 

 

11. Что такое глобальный максимум критерия и оптимальное решение?

 

Глобальный максимум — вектор инструментальных переменных, если он принадлежит допустимому множеству и целевая функция принимает на этом векторе значение не меньшее, чем в любой другой допустимой точке.

В задачах оптимизации глобальный максимум целевой функции означает решение задачи, условия существования которого определяются теоремой Вейерштрасса.

Оптимальное решение — решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от характера задачи) критерий качества оптимизационной модели (критерий оптимальности) при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели.

 

12. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса).

 

Теорема Вейерштрасса:                                       (4)

Для того, чтобы в задаче  существовала точка глобального максимума, достаточно, чтобы допустимое множество X было компактно в Rn, а целевая функция f непрерывна на X.

 

13. Назовите причины отсутствия оптимального решения.

 

Оптимального решения может не существовать тогда, когда заданные ограничения не удовлетворяют возможным решениям.

Например: отсутствие седловой точки в решении игры; остановка решения симплекс-метода при отсутствии следующего шага нахождения оптимального решения.

 

14. Что такое локальный максимум?

 

Точка называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность, для которой эта точка принимает максимальное значение функции в заданной окрестности.

 

15. Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.

 

В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции

                                                                                            (5)

при условии

,                                                                (6)             

где и - некоторые известные функции n переменных, а - заданные числа.

 

16. Сформулируйте необходимое условие локального максимума в общей задаче нелинейного программирования.

 

Одним из основных необходимых условий локального максимума остаётся предложенный Лагранжем перенос ограничений в целевую функцию.

 

17. Что такое функция Лагранжа?

 

А вообще это один из способов нахождения экстремума функции (минимума или максимума) на неком данном отрезке.

 

18. Дайте определение седловой точки функции Лагранжа.

 

Седловая точка — точка, где функция Лагранжа достигает максимума по исходным переменным (прямой задачи) и минимума по множителям Лагранжа.

 

19. Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью функции Лагранжа.

 

Достаточное условие оптимальности:

 Если - седловая точка функции Лагранжа, то вектор x* - решение задачи нелинейного программирования.

Доказательство:

Из и из условия дополняющей нежесткости (Если - седловая точка функции Лагранжа, то в ней выполняется условие дополняющей нежесткости.) следует неравенство

.

(7)

Пусть . Тогда и, так как . Отсюда и из . Что и требовалось доказать.

 

20. Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую интерпретацию.

 

Равенство , где , , называется условием дополняющей нежесткости.

Каждому из "ресурсов" исходной задачи соответствует его двойственная оценка, или условная цена. В случае положительности двойственной оценки "ресурсы" используются полностью и являются дефицитными.

Ресурсов, что имеют нулевую двойственную оценку, – не является дефицитным.

Если xi=0, то, что затраты на сырье №i превосходят возможные затраты в случае закупки отдельных ресурсов, поэтому эти виды сырья использоваться не будут.

 

21. Дайте определение выпуклого множества.

 

 Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их.

 

22. Какие свойства имеют выпуклые множества?

 

Свойства выпуклых множеств:

- Пересечение выпуклых множеств является выпуклым.

- Линейная комбинация точек выпуклой множества выпуклая.

- Выпуклая множество содержит любую выпуклую комбинацию своих точек.

- Любую точку n -мерного евклидова пространства с выпуклой оболочки множества можно представить как выпуклую комбинацию не более n +1 точек этого множества.

 

23. Дайте определение опорной гиперплоскости.

 

Опорная гиперплоскость — гиперплоскость, имеющая общую точку или ряд общих точек с границей рассматриваемого множества (области), причем такая, что вся эта область лежит по одну сторону от нее.

 

24. Дайте определение разделяющей гиперплоскости.

 

Разделяющей гиперплоскостью есть гиперплоскость, максимизирующая расстояние до двух параллельных гиперплоскостей.

 

25. Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему об отделимости выпуклых множеств.

 

Пусть X и Y выпуклые множества из и   Тогда множества X и Y отделимы.

Пример 1:

Пример2:

 

Пример 3:

 

26. Сформулируйте понятие выпуклой и вогнутой функций.

 

 Функция f(x) называется выпуклой на отрезке [a, b], если выполнено условие

.                    (8)

Пример:

Функция f(x) называется вогнутой  на отрезке [a, b], если выполнено условие

. (9)

Пример:

 

27. Что такое строгая выпуклость функции?

 

Если неравенство является строгим, то функция f называется строго выпуклой.

 

28. Что такое надграфик функции? Какими свойствами обладает надграфик выпуклой функции?

 

Надгра́фик — это множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Свойства

- Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

- Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

 

29. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции.

 

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ).

 

30. Какие свойства имеют выпуклые функции?

 

- Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде.

- Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек выполняется неравенство

                                                                  (10)

- Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

- Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точке равна нулю).