Корреляционный анализ

• проводится стандартизация исходной матрицы;
• вычисляются парные оценки коэффициентов корреляции;
• проверяется значимость оценок коэффициентов корреляции, незначимые оценки приравниваются к нулю. По результатам проверки делается вывод о наличии связей между вариантами (факторами).

 

 

 

 

 

Пример

Исследование зависимости  между среднемесячными доходами X на семью (в тыс. у.е.) и расходами Y на покупку кондитерских изделий (в у.е.) представлено в таблице:

X	4,8	3,8	5,4	4,2	3,4	4,6	3,4	4,8	5,0	3,8	5,2	4,0	3,8	4,6	4,4
Y	75	68	78	71	64	73	66	75	75	65	77	69	67	72	70

 

Построить корреляционное поле и сделать предварительный вывод  о форме зависимости случайных  величин

Решение. Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рис.1.

Анализ рис. 1. позволяет сделать вывод о наличии сильной линейной статистической связи между среднемесячными доходами семьи и затратами на приобретение ею кондитерских изделий. При этом связь имеет положительную тенденцию, т.е. с ростом переменной X наблюдается увеличение отклика Y.

При большом объеме выборки  результаты группируются и представляются в виде корреляционной таблицы.

Пример 2:  По 20 туристическим фирмам были установлены затраты X на рекламу и количества туристов Y, воспользовавшихся услугами каждой фирмы. В таблице фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу:

Порядковый номер фирмы	Затраты на рекламу, усл.ден.ед.	Количество туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, чел.
1	8	800
2	8	850
3	8	720
4	9	850
5	9	800
6	9	880
7	9	950
8	9	820
9	10	900
10	10	1000
11	10	920
12	10	1060
13	10	950
14	11	900
15	11	1200
16	11	1150
17	11	1000
18	12	1200
19	12	1100
20	12	1000

Построить корреляционную таблицу  и сделать предварительный вывод  о форме зависимости случайных  величин.

Решение. Исходные данные, ранжированные по величине затрат на рекламу, уже могут быть использованы при ответе на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи. Этот простейший прием обнаружения связи называется сопоставлением двух параллельных рядов. Согласно этому элементарному приему, значения факторного признака X располагают в неубывающем порядке и затем прослеживают направление изменения результативного признака Y.

По таблице можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу  приводит к увеличению количества туристов, пользующихся услугами фирмы. Хотя в  отдельных случаях наличие такой  зависимости может не усматриваться. Например, сопоставим данные по фирмам с порядковыми номерами 7 и 11. Здесь  можно увидеть даже обратное соотношение: у фирмы 11 количество туристов меньше, чем у фирмы 7, хотя затраты на рекламу выше. В каждом отдельном  случае количество туристов, воспользовавшихся  услугами фирмы, будет зависеть не только от размера затрат фирмы на рекламу, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного  признака.

Однако наличие большого числа различных значений результативного  признака, соответствующих одному и  тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов. Особенно это сказывается при  большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких  случаях целесообразнее воспользоваться  для установления факта наличия  связи корреляционной таблицей. Построение корреляционной таблицы начинают с  группировки значений факторного и  результативного признаков. Поскольку  в приводимом примере факторный  признак представлен всего пятью  вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце корреляционной таблицы выписать эти результаты. Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки. Это можно сделать с помощью  формулы Стержэсса:

В корреляционной таблице  факторный признак X, как правило, располагают в строках, а результативный признак Y – в столбцах таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения X и Y:

Данная корреляционная таблица  уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение  о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице  расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. бóльшим значениям фактора  соответствуют бóльшие значения функции), то можно предположить наличие  прямой корреляционной зависимости  между признаками. Если же частоты  расположены по диагонали из правого  верхнего угла в левый нижний, то предполагают наличие обратной связи  между признаками.

Необходимо подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между  признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот. Для того, чтобы сделать восприятие корреляционной таблицы более доступным и в целях более четкого выявления основной тенденции связи, можно для каждой строки рассчитать средние значения   результативного признака Y, соответствующие определенному значению признака-фактора X. Так, в рассматриваемом примере среднее число туристов для первой группы, состоящей из трех фирм, которые тратят на рекламу 8 усл. ден. ед., будет равно 800 человек:

Для следующей группы, состоящей  из пяти фирм, у которых затраты  на рекламу 9 усл. ден. ед.

и т.д. (рассчитанные таким  образом средние   представлены в последнем столбце корреляционной таблицы).

Итак, увеличение средних  значений результативного признака с увеличением значений факторного признака еще раз свидетельствует  о возможном наличии прямой корреляционной зависимости числа туристов, воспользовавшихся  услугами фирмы, от затрат фирмы на рекламу.

Корреляционная таблица  позволяет сжато, компактно изложить материал. Поэтому все последующие  расчеты можно вести по корреляционной таблице. 

Выборочный коэффициент  корреляции Пирсона для группированной   корреляционной таблицы определяется формулой:

                                                                                                     (1)

где  

                                                                          (2)

– выборочная ковариация;   и   – центры соответствующих интервалов группировки;

,  ,

,                             (3)

– соответствующие выборочные дисперсии.

Для выборочной ковариации   справедлива формула

,                               (4)

являющаяся аналогом формулы   в теории вероятностей. Для простой (негруппированной) выборки формулы (6.2) – (6.4) упрощаются и приобретают вид:

                    

,                                          (5)

,

,  .                             (6)

Выборочный коэффициент  корреляции   обладает всем свойствами, которыми обладает теоретико-вероятностный коэффициент корреляции  . В частности, для любой выборки  .

При этом, чем ближе   к 1 (или к  ), тем сильнее выражена линейная зависимость между X и Y. Однако значимость такой зависимости должна быть

подкреплена проверкой гипотезы. Проверка гипотезы о наличии корреляции осуществляется следующим образом. Основная гипотеза – отсутствие линейной статистической связи ( ); альтернативной гипотезой может выступать любая из трех возможных 

В тех случаях, когда справедливо  предположение о нормальном распределении  двумерного генерального вектора  , подходящей статистикой для проверки основной гипотезы является статистика Стъюдента

,                                                 (6.7)

где обозначено   – выборочный коэффициент корреляции, а объем n выборки предполагается большим (число степеней свободы равно  ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы

1. Делаем вывод о наличии и характере функциональной зависимости или о предпочтительности для описания исследуемого объекта регрессионной модели того или иного вида;
2. Корреляционный анализ призван просто находить взаимозависимость, объяснять ее интенсивность и трансформацию;
3. Корреляционный анализ можно рассматривать как составную часть факторного анализа, (как и самостоятельный вид анализа) но это не умаляет достоинства первого т.к он выявляет определяющие связи. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Экономический анализ: Учебник для вузов/ Под ред. Л.Т Гиляровской. – 2-е изд.,  доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 – 615с.
2. Баканов М.И, Шеремет А.Д, Теория экономического анализа: Учебник – 4-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 416 с.
3. Любушин Н.П. Экономический анализ: Учебное пособие по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» и 080105 «Финансы и кредит». – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 – 423 с.
4. Анализ хозяйственной деятельности предприятия: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 400 с.
5. Басовский Л.Е. Теория экономического анализа: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 222 с.