Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст

 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст

 
Формули вирішення квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не лише в Італії, а й Німеччини, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано в Європі лише в 1544 році М. Штіфелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

Узагальнення формул вирішення квадратного рівняння загалом належить Вієту, проте Вієт визнавав лише додатні корені. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбелли серед перших у XVI ст. почали враховувати крім додатніх, і від’ємні корені. Лише XVII ст. завдяки роботам Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.[5,12].

Як відомо з історії  математики, значна частина задач  математичного характеру, розв’язуваних єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарями-обчислювачами (XX—VI ст. до н. е.), мала розрахунковий  характер. Проте вже тоді час від часу виникали задачі, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, що вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для розв’язання таких задач застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки уявлень алгебри.

Спочатку алгебру  розуміли як науку про рівняння, згодом же цей погляд трохи змінився. Рівняння зустрічаються при вивченні геометрії, тригонометрії, фізики, хімії, астрономії й інших наук. Крім рівнянь першого степеня, існує багато інших видів рівнянь. Але жоден з цих видів не можна засвоїти, не засвоївши розв'язання рівнянь першого степеня.  

Необхідність  розв'язувати рівняння не тільки першого, але і другого степеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, які стосувалися обчислення площ земельних ділянок, а також - розвитку астрономії і самої математики. 

Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н. є. вавилоняни. Застосовуючи сучасний алгебричний запис, можна сказати, що в їхніх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

х² + х = s,   х² - х = 14 s.

Правило розв'язування цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається, власне кажучи, із сучасним, однак невідомо,як саме дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені дотепер клинописні тексти наводять тільки задачі з розв'язаннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як саме їх було знайдено.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри  у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Задачі на квадратні  рівняння зустрічаються вже в  астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до загальної канонічної форми:

ах² + bх² = с, а > 0.

У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і від'ємними. Правило Брахмагупти, власне кажучи, збігається з нашим.

Математики постійно стикалися  із задачами, що приводили їх до розв'язування рівнянь 3, 4 і 5-го степенів. Найчастіше 3-го.

Протягом багатьох сотень років учені безуспішно шукали способи  рішення рівнянь 3-го степеня.

Розв'язування одного виду кубічного рівняння було відкрито талановитим узбецьким ученим з міста Самарканда Джемшидом аль-Каші (помер близько 1456 p.).

Геометричний метод розв'язування одного виду чисельного кубічного рівняння був відомий ще Архімеду. Алгебричний же метод рішення кубічного рівняння протягом багатьох століть залишався невідомим.

Перший крок у цьому  напрямку зробив на початку XVI ст. італійський учений Сціпіон дель Ферро. Він знайшов розв'язок рівняння х³ + ax = b при а > 0 і b> 0.

Своє розв'язання він по секрету повідомив Фіорі. Той скористався цим секретом і викликав на математичний двобій талановитого вченого Нікколо Тарталью (1500-1557), розраховуючи «вбити» його своїм умінням розв'язувати кубічні рівняння.

Тарталья довідався, що Фіоре знає таємницю розв'язання кубічного рівняння, і за тиждень до двобою самостійно знайшов розв'язок рівняння більш загального вигляду х³ + рх = q для будь-яких р і q. 12 лютого 1535 року, у день двобою, Тарталья розв'язав усі ЗО задач Фіоре і переміг його.

Учень Кардано, Феррарі (XVI ст.), знайшов формулу коренів Рівняння 4-го степеня. Таким чином, до кінця XVI ст. математики вміли виражати корені рівнянь 1, 2, 3 і 4-го степенів через їхні коефіцієнти за допомогою шести дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня)

1.6 теорема Вієта 

Французький математик Франсуа Вієт (1540-1603 рр.) встановив залежність між коренями рівняння і його коефіцієнтами. Вієт першим здогадався позначити буквами не тільки невідомі, але і коефіцієнти при них. Недарма Вієта називають „батьком алгебри".

Одержані Вієтом системи рівностей, які зв'язують окремі рівняння довільного степеня з їх коефіцієнтами, тепер називають теоремою Вієта.

Теорему, якою виражено зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та її коренями, що має ім'я Вієта, була їм сформульована вперше у 1591 р. так: «Якщо B + D, помножена на A - A², одно>BD, то A одноУ і одно D». 

Щоб осягнути Виета, варто згадати, що А означало в нього невідоме (наше x), голосні ж У,D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вище наведена формулювання Виета означає: коли він має місце 

 (а + b)x - x² = >ab,

тобто.

x² - (а + b)x + аb = 0,

то

x₁ = а, x₂ = b. 

Висловлюючи залежність між корінням і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними з допомогою символів,Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Проте символікаВиета ще далекою від сучасного виду. Він визнавав негативних чисел і з цього під час вирішення рівнянь розглядав лише випадки, коли всі коріння позитивні.