Ұлы Гаусс математикасы

Мазмұны

 

Кіріспе...........................................................................................................4

 

І бөлім. Карл Фридрих Гаусс және оның еңбектері..................................5

 

1. "Математиктер патшасы"......................................................................5

 

1.2 Гаусстың ғылыми еңбектері.................................................................8

 

ІІ бөлім. Ұлы Гаусс математикасы............................................................10

 

2.1 Гаусс теоремасы.....................................................................................10

 

2.2 Гаусс проекциясы...................................................................................11

 

2.3 Гаусс әдісі................................................................................................12

 

2.4 Сандар сыры............................................................................................14

 

Қорытынды..................................................................................................18

 

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі............................................................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

Бұл рефераттың тақырыбы "Ұлы Гаусс математикасы". Реферат үш бөлімнен тұрады: кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды.Негізгі бөлімнің өзі екі тараудан тұрады: Карл Фридрих Гаусс және  ұлы Гаусс математикасы.

Мақсаты: "Математиктер патшасы" атанған Карл Фридрих Гаусс өмірін және ғылыми еңбектерін жан-жақты қарастыру.

Міндеті: Карл Фридрих Гаустың ғылыми еңбектерін,соның ішінде Гаусс проекциясын,теоремасын және де Гаусс әдісі мен салу есептерін зерттеу.

Математика тарихы – математиканың бір саласы болып есептеледі.Ол – математика дамуының обьективтік заңдылықтары туралы ғылым.

"Математиктер патшасы" атанған  Карл Фридрих Гаусс кедей тап өкілі.Ол Германиядағы Брауншвейг ауылында 1777жылы дүниеге келген.Ол дүниге келгенде оның қатты шыққан даусынан айналадағы жұрт елең ете қалды.Әкесі Герхард мінезі тіктеу,бірбеткей,адал жан.Байлар бағына фонтан орнатып,бағын күтетінитас қалаушы.Анасы Доротея да ақылды,байсалды және ашық мінезді әйел болған.Ақылды әрі ұстамды шешесінің Карл тұңғышы.Тоқымашы,терең ақылды,кішпейіл,түйгені мол кіші нағашысы Фридрих, жас нәрестенің атын өзі қойды.Шешесі мұны мақтан тұтып Карл Фридрих Гаусс деп атап кетті.Екі жасында Гаусс вундеркинд атанса,үшке толмай – ақ әкесінің айлық есептеудегі қатесін байқап: "Әке, есептеуің қате,міне былай болады", - деді.Әке – шешесі мен туыстарынан әліпбидегі әріптердің оқылуын сұрап алып,өзбетінше оқи алатын дәрежеге жетті.Цифрларды танып,есептеуді өзі үйренді.Кейін Гаусс "сөйлеуден бұрын санауды үйрендім " деп қалжыңдайтын.Бұл шешесінен қанмен тараған,бойға сіңген мінез еді.Жетіге толып мектепке барды.Сабақты Бютнер есімді мұғалім жүргізуші еді.Бірде мұғалім тақтаға 1 – ден 100 – ге дейігі сандардың қосындысын табу керек екендігін жазып,оқушыларға түсіндіріп болғанша өзінің аспидальдық тақтасына графилімен "Дайын!" деп жазып қойды.Оқушылардың қалай шығарып жатқандығын байқап,оларға ақыл – кеңес беріп жүрген мұғалім Гаусс тақтасынан "Дайын!" деген жазуды көріп: "Есебің қайда?" – деді.Ол өзінің тақтасынан 5050 деген есептің жауабын нұсқады.Бютнер көпшілік алдында шығарып көрсетуді талап етті.Ол шығарып берді.

• Қане оқушылар! Сіздер қалай шығарады екенсіздер соны байқайық.

Гаусқа риза болған Бютнер оқушыларға арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табуға арналған формуланы түсіндірді.

Сөйтіп, он жастағы Гаусс 1 – ден 100 – ге дейінгі сандардың қосындысын тауып арифметикалық прогрессияның n – мүшесінің қосындысы формуласының дербес жағдайын ашты.Осы Бютнер өзіндегі арифметика оқулығын Гаусқа сыйға тартты.Бала Гаусс оны қиналмай – ақ меңгеріп алғанын көргенде: "Ол менен асып түсті.Оны мен басқа ештеңеге үйрете алмаймын", - деп өзінің көмекшісі Иоганн Мартин Бартельске(1769 – 1836ж.ж) табыс етті.Он жеті жастағы Бартельс математика десе ішкен асын жерге қоятын көктен іздегені жерден табылғандай қуанып, өз ризашылығын білдірді.Бартельспени Гаусс бірігіп біліидерін тереңдітіп,бірте – бірте мектептегі алгебра мен анализ бастамаларының дәлелдемелерін жаңарта бастады

1.1 Карл Фридрих Гаусс

 

Математика тарихы бойынша ХVІІ ғасыр мен ХІХ ғасырдың шекарасында неміс ғалымы Карл Фридрих Гаусстың ұлы тұлғасы ерекше орын алады.Гаусс заманы – Эйлер мен Лагранж ғасырының ақыры,Лобачевский мен Риман ғасырының алғашқы жартысы.Сондықтан Гаусс еңбектері ескі матемтиканың аяғы,жаңа математиканың басы болады.

Карл Фридрих Гаусс ескі стиль бойынша 1777жылы 30сәуірде Батыс Германияның Бруаншвейг қаласында дүниеге келген.Әкесі Герхард Дидриз Гаусс (1744-1808) сауатты жұмысшы болған,жас кезінде қалаға су тарату трубаларын жөндеуді кәсіп еткен.Анасы Доротея ақылды,байсалды және ашық мінезді әйел болған.Карл – оның тұңғыш және жалғыз ұлы,одан соң құрсақ көтермеген.Жалғыз ұлын ол мәпелеп өсірген,ұлы да анасын қадір тұтқан."Жалғыз баласының соңынан жүгіріп жүретін кемпір" деп дос әйелдері қалжыңдағанда,Доротея іркілместен:"Сендердің тапқан жиырма балаларыңа тұрмайма,менің жалғыз Карлым" дейтін,Доротея 97жыл өмір сүріп,Гаусс Геттингенде тұрғанда 1839жылы 19сәуірде қайтыс болған.Сол Геттингенде жерленген.

Карл жасынан-ақ зерек болған,әріптер мен цифрларды әкесінен үйренген.Бір күні әкесі бес-алты жұмысшыға тиісті еңбек ақыларын үлестіріп бергенде үш жасар ұлы Карл әкесінің қатесін тапқан.Тексергенде Герхардтың ақшаны қате есептеп артық беріп қойғандығы анықталған.Есейген шағында Гаус ойын шыны аралас:"Менің тілім шықпай тұрғанда санап үйренгенмін",- деген.

1784жылы Карл Брауншвейтегі Екатерина  атындағы бастауыш мектепке оқуға  түседі.Бұл мектепте Бютнер деген мұғалім болады.Карл арифметикадан үздік оқиды,бірақ басқа пәндерден артық өнер көрсете алмайды.Үшінші сыныпта оқып жүргенде қызық оқиға болады.Бютнер бір жерге барып келетін жұмысы боладыда шәкірттерге 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосып,қанша шығатынын табыңдар деп,тапсырма береді.Оның ойынша жұмысты тындырып келгенше шәкірттер әуреленіп отыруға тиіс.Мұғалім есептің шартын жаздырып аяқтаған кезде "5050" деп жазып,Карл тақтайшасын алып барған.Таң қалған Бютнер "қалай  шығардың?" деп сұраған. Есепті Гаустың өзі шығарғандығына күмәнданған Бютнер көпшілік алдында шығарып көрсетуді талап етті.Ол шығарып берді және оны Карл былай түсіндірген:1+101=101,1+99=101,... осындай 50 рет 101 болады,ал 101 × 50 = 5050.Есептің шешімі дұрыс.

Гаусқа риза болған Бютнер оқушыларға арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табуға арналған формуланы түсіндірді.

Сөйтіп, он жастағы Гаусс 1 мен 100 - дің,2 мен 99 - дың,3 пен 98 – дің,тағы сол сияқты екі шетінен бірдей қашықтықта тұрған сандардың қосындысы 101,ал ондай парлардың саны небары 50, демек, 101 × 50 = 5050 екенін байқап,арифметикалық прогрессияның n – мүшесінің қосындысы формуласының дербес жағдайын ашты.Осы үшін Бютнер өзіндегі арифметика оқулығын Гаусқа сыйға тартты.Бала Гаусс оны қиналмай-ақ меңгеріп алғанын көргенде:"Ол менен асып түсті.Оны мен басқа ештеңеге үйрете алмаймын",- деп өзінің көмекшісі Иоганн Мартин Бартельске(1769-1836ж.ж) табыс етті.Он жеті жастағы Бартельс математика десе ішкен асын жерге қоятын көктен іздегені жерден табылғандай қуанып,өз ризашылығын білдірді.Бартельс пен Гаусс білімдерін тереңдетіп,бірте-бірте мектептегі алгебра мен анализ бастамаларындағы арақатынастардың дәлелдемелерін жаңарта бастады.Қос қыран әрі асып,биномдық теореманы меңгерді.

n – кез – келген сан болса

(1 - х)² = 1 + ² + ³ + ... теңдігі қай уақытта орындалады деген сұраққа жауап берді.Бұл матемтикалық терең төңкеріске әкелді.Жазудағы көп нүкте қосылғыштар санын түгесуге болмайды,шектеусіз дегенді білдіреді.Сонымен,жас Гаусс анализді шексіздік ұғымымен байланыстырып,онсыз дәлелдеу өз мәнінде болмайтынын айтты.Гаусс төңкерісі кейінгі математиктерге де,замандастарына да әсерін тигізді.Гаусс он тоғызға толғанда анасы өмірлік досы Фаркаш Бояиден Гаустың келешегі барма деп сұрағанда:"Ол Европаның аса ірі математигі! " – деп жауап берді.Қуанғаннан анасы көзмоншағын сүртіп,езу тартты.Гаусс өз табысына мұнша қуанғанымен,математика профессоры Бартельс "Гаусты ашқан менмін!" –деп әрқашан айтып жүрді.Ол Гаустан бір елі қалмай ,қартайған шағында да дәрісханаларға бірге кіретін.Бартельс Қазан университетінде де қызмет істеп,ұлы геометр Н.И.Лобачевскийдіңде сүйікті ұстазы болды.

Гаусс Бютнер мектебінде 4жыл оқиды,сонда жүріп латын,грек,көне еврей тілдерімен танысады.1788жылы сол мектептің жанындағы гимназияға ауысады.Гимназия оны бірден екінші сыныпқа алады.Гимназияда,содан кейін Королин коллегиясында оқиды.Бұл жылдары тілдерді терең біліп алып,математиканың классикалық кітаптарын – Ньютон "Негіздерін", Эйлер мен Лагранж шығармаларын т.с.с оқиды.

1795жылы Гаусс Геттинген университетіне түседі.Университетте тіл ғылымдары мен математиканы қатар оқиды.Екінші курста оқып жүрген кезінде,1796жылы 30 наурызда,циркуль мен сызғыш арқылы дұрыс 17-бұрышты алуға болатындығын дәлелдейді.Осы есепті шешкеннен кейін Гаусс тіл білімін "кейін көрермін" деп екінші қатарға қалдырып,математик болуға бел байлайды.Бұл уақытта Гаус 18жаста еді.17-бұрыш Гаусс еңбектерінің бет ашары,алғы сөзі,хабаршысы,төл басы сияқты болды,Кейін көптеген жаңалықтар ашса да,өзі осы 17- бұрышты зерттеуін айрықша есінде сақтады.Кейін бұл есепті Гаусс жалпы түрде шешті.Грек геометрлері дұрыс көпбұрыштардың кейбір дербес түрлерін салу жолдарын ғана айтып кеткен.Дұрыс көпбұрыштардың қандайын циркуль мен сызғыш арқылы салуға болады,қандайын – салуға болмайды?Бұл сұраққа гректер де,орта ғасырлардағы математиктер де жауап бере алмаған.Гаусс мынадай теореманы : егер дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санын өрнектейтін n саны

n=

p p ,..p

түрінде болса,ал p p ,..p сандары p =2 + 1,i = 1,2,…m,α=2 болса (k,β – натурал сандар),ондай көпбұрышты салуға болады,бұл шарттар орындалмаса,- салуға болмайды.Мәселен,Гаусс теоремасы бойынша қабырғаларының саны 16,24,40,17,257,... болатын дұрыс көпбұрыштарды салуға болады,7,9,18,19,26,... қабырғасы бар көпбұрыштарды циркуль мен сызғыш арқылы салуға болмайды.Гаусстың бұл табысы – үлкен жаңалық. Карл мұнымен тоқтап қалған жоқ,студент кезінде өзінде-ақ ғылыми зерттеулермен айналыса берді,оларының нәтижелері кейін жарияланды.

1798 жылы Гаусс Геттинген университетін бітірді,1799жылы Хельмштедт университетінде философия ғылымының докторы дәрежесін,Брауншвейгте приват-доцент атағын алды.

1801жылы Гаусс өзінің "Арифметикалық  зерттеулер" атты әйгілі шығармасын  жариялады.Бұл үш бөлімнен құралған  үлкен еңбек сандар теориясын жүйелі ғылымға айналдырды.Геомерияның,алгебраның,анализдің бірталай күрделі мәселелерін Гаусс арифметика заңдарсына сүйеніп шешті.Сондықтан ол арифметиканы өте жоғары бағалады.Фурье матемтиканың негізгі арнасы ретінде математикалық анализді түсінген болатын.Гаусс бұл рольді арифметикаға береді.Сөз болып отырған кітабында ол былай дейді: "Ғылымдардың бекзадасы – математика,математиканың бекзадасы - арифметика".Гаусс латын тілінде "принципес" деген,бұл сөзді Батыс Европа тілдерінде "корорль" немесе "королева" дейді,орыс тілінде "царь" мен "царица" деп аударылады.Қазақ тарихында король да,царь да болмағандығын еске алып, біз "бекзада" деп келтіріп отырмыз.Осыдан кейін Гауссты замандастары "математиктирдің бекзадасы" деп атап кеткен(латынша - "Математикорум приципс").

"Арифметикалық зерттеулері" үшін Гаусс бірнеше сыйлық және медаль алды,бірақ қалам ақысы мардымсыз болды.Приавт-доцент ретінде айына 8-ақ талер жалақы алды.Сондықтан ғалымның күн көрісі мүкі-тапы болды.1801жылы 31қаңтарда Петербург академиясы оны өзінің корресподент мүшесі етіп сайлады.

Гаусс астрономиямен де шұғылданатын.Сол кезде ол неміс астрономдары Г.Ольберспен және Ф.Бессельмен танысып,достасып алған болатын.Астрономиялық зерттеулер жүргізуге Петербургтен гөрі Геттинген қолайлы,өйткені Геттинген аспаны  көбінесе бұлтсыз болады.Герцог Геттингенде обсерватория салдырмақшы болып және оны басқаруды Гауссқа тапсырмақшы болып уәде етті.Гаусстың Германияда қалуының екінші себебі осы болды.Обсерватория 1811жылы салынып бітті,1807жылдан өмірінің ақырына,1855жылға дейін Гаусс оның директоры болды.Өзі сол обсерваторияның жанында салынған үйде тұрды.

Гаусс ұзақ жылдар бойы Геттинген университетінде математикадан,физикадан,астрономиядан сабақ берген.Оны Берлин университеті шақырқаған,бірақ Гаусс Берлинге бармаған.

1849жылы 16шілдеде Геттинген университеті  Гаусстың ғылыми жұмыстарының 50жылдығын  атап өтті.Оған Геттинген мен  Брауншвейгтің құрметті азаматы  атағы берілді.Шетелдерден көптеген  дипломдар келді.

Жас кезінде Гаусстың денсаулығы жақсы болған,ол дамыл көрмей күнделікті жұмысын атқара берген,өмір бойы екі-ақ рет дәрі ішкен,дәрігерлерге сенбеген.Медицинаның мешеу,жақсы жәрігерлердің тапшы заманында,мүмкін онысы дұрыс болғанда шығар.Жасы 70-ке келгенде күш-қуаты қайта бастаған,ұйқысы қашып,тынысы тарылып,көмейіне қақырық толып,ауыра берген.Саяхат жасап,демалуға уақыты болмаған,Ганновер – Геттинген темір жолы салынып біткенде осы жол мейрамына ғана барған,туған жері Брауншвейгтегі,қызмет істеген жері Геттингендегі,барып қайтқан Хельмштедт пен Бременді білген,Германияның басқа қалаларында болмаған.

Гаусс жартасқа шыққан жалғыз қарағайдай өмір сүрген,жастар арасында сирек болған,университетте лекцияларын оқығанна кейін обсерваториясына кетіп қалатын болған,жиналыстарға қатынаспаған,саясат мәселелеріне көңіл бөлмеген,өз идеяларын дамыта берген,өзге ғалымдардың еңбектері жөнінде жарытымды пікір айтпаған.Ол көшеде келе жатқанда да ойланып жүрген,ондайда кездесе қалатын жолдастарын да танымайтын болған.Ешбір ғалымның еңбегіне таңданбаған,бірақ ешкімнің еңбегін жамандамаған.

Карл Фридрих Гаусс 1855жылы ескі стиль бойынша 23ақпанда жүректің ұлғаюынан қайтыс болған.Оның 40жыл ұстаған қалта сағаты да дәл сол минутта тоқтап қалған.26ақпанда Геттингенде жерленген.Ғалымды соңғы сапарға шығарып салуға көп халық қатынасқан.Гауустың зираты темір шарбақтармен қоршалған,басына ескерткіш орнатқан.

1863-1933жылдары Геттинген ғылыми  қоғамы 12том етіп Гаусс шығармаларының  толық жинағын бастырып шығарды.1875-1925жылдары  бұл жұмысты атақты неміс матемтигі  Феликс Клейн басқарды.Клейннің  басшылығымен "Гаусстың ғылыми  өмірбаянына қатысты материалдар" (8том) жарияланды.

 Ғылым атты мұхиттың көкжиегін көрем деп,Гаусс өмірінің соңғы жиырма жылында аяқ аттап сыртқада шықпапты

 

 

2. Гаустың ғылыми еңбектері

 

Гауссты жұрт "математиктер бекзадасы" деп текке айтқан жоқ.Ол ірі – ірі табыстарға жетті,таза матемтикадан,қолданбалы математикадан,физикадан т.с.с тамаша жаңалықтар ашып,ғылымды байытып кетті.