Математическая модель "хищник - жертва"

 

 

Титульный лист оформить

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение

1.Цель(постановка задачи)

2.формализация задачи

3.описание решения  на компьютере

4.график с параметрами  – результат

5. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В настоящее время  задачи экологии имеют первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач  экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих  закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из важных проблем  математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления.

 

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки.

Пусть два биологических  вида совместно обитают в изолированной  среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Заданы следующие начальные  показатели:

 

Наименование показателя	Щуки	Караси
— начальная численность популяции	10000	800
— коэффициент естественного прироста/смертности	1,1	0,001
— коэффициенты межвидового взаимодействия	0,0001	0,0001

 

Со временем число  карасей и щук меняется, но так  как рыбы в пруду много, то не будем  различать 1020 карасей или 1021 и поэтому  будем считать  и непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел ( , ) состоянием модели.

Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

В экосистеме скорость изменения  численности каждого вида также  будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

 

 

Эта система уравнений  и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты , , - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Проинтегрируем оба  уравнения систему по t, которое будет изменяться от - начального момента времени, до , где T – период, за который происходят изменения в экосистеме. Пусть в нашем случае период равен 1 году. Тогда система принимает следующий вид:

 

;

 

 

;

 

Принимая  = и = приведем подобные слагаемые, получим систему, состоящую из двух уравнений:

 

 

Подставив в полученную систему  исходные данные получим популяцию  щук и карасей в озере спустя год: