Математическая статистика в различных областях

Введение

Статистика есть наука об обработке  данных. Статистические методы основаны на вероятностных моделях. С обработкой результатов наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов имеют дело специалисты почти во всех отраслях практической деятельности и научных исследований.

Развитие наукоёмких технологий, как правило, основано на применении высоких статистических технологий организации и управления производством. Особенно активно они  используются в высокотехнологичных  отраслях промышленности. Без вероятностно-статистических методов немыслимы оценка и анализ риска, страхование, финансовая деятельность. Инженеры, менеджеры, экономисты, социологи, врачи, психологи, историки успешно применяют интеллектуальные инструменты принятия решений, основанные на вероятности и статистике.

Статистические методы и модели и их база, — теория вероятностей — активно развиваются во всём мире. Американская статистическая ассоциация насчитывает более семнадцати тысяч  членов, британское Королевское статистическое общество — более шести тысяч. Статьи по вероятности и статистике постоянно публикуются более чем в пятистах научных журналах. В университетах США статистических факультетов больше, чем математических и физических. Восемь нобелевских премий получены эконометриками, — специалистами по статистическим методам в экономике.

Современная теория вероятностей основана на аксиоматике Андрея Николаевича  Колмогорова. Однако в России специалисты  и научные работники, студенты и  преподаватели пока недостаточно знакомы  с последними достижениями в области вероятностно-статистических методов, хотя ссылки на них постоянно встречаются в научно-технической, деловой и учебной литературе.

Цель данной работы –  изучить основы математической статистики и показать практическое применение математической статистики в различных областях.

Для написания данной работы были поставлены следующие задачи:

1. Изучить литературу соответствующей тематики.
2. Составить алгоритм программы, реализующей основные статистические методы.
3. Написать программу, реализующую основные статистические методы.
4. Решить с помощью созданной программы несколько примеров.

1.1. Нужность математической статистики

Теория вероятностей и математическая статистика суть основы вероятностно-статистических методов  обработки данных. Данные мы обрабатываем и анализируем прежде всего для принятия решений. Чтобы воспользоваться современным математическим аппаратом, необходимо рассматриваемые задачи выразить в терминах вероятностно-статистических моделей.

Применение конкретного  вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов:

1. Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного.
2. Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.
3. Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном).

1.2. Примеры применения теории вероятностей и математической статистики

Рассмотрим несколько  примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач.

В романе Алексея Николаевича  Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, — сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Единица продукции не может быть дефектна на 23 %. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверное, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23 % дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 — 300, или из 100 000 — 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи?

Монетка, используемая как  жребий, должна быть «симметричной»: в  среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать орёл, а в половине случаев — решка. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5 % серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие — в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия.

Аналогичный пример можно  привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует  или не соответствует контролируемая партия продукции установленным  требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Похожие проблемы обеспечения  объективности сравнения возникают  при сопоставлении различных  схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и  конкурсов, подбора кандидатов на вакантные  должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры.

Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду  при организации турнира по олимпийской  системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда  всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении  единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

Встаёт вопрос, как  по измерениям выявить систематическую  погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении  погрешность положительной или  отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность — с выпадением орла, отрицательную — решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена  к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.

При статистическом регулировании  технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы  статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение  разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу p₀, например, p₀ = 0,23.

1.3. Задачи оценивания

В ряде ситуаций возникают задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть  на контроль поступила партия из N электроламп. Из этой партии случайным образом выбрано n электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп, с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность, если взять выборку большего объёма? При каком числе часов T можно уверять, что не менее 90 % электроламп прослужат T и более часов?

Предположим, что при  испытании выборки дефектными оказались X электроламп. Какие границы можно указать для числа D дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности и тому подобного?

Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества, как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать её математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса — дисперсию, среднеквадратичное отклонение или коэффициент вариации. Возникают вопросы: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удастся сделать?

Аналогичных примеров можно  привести много. Здесь важно показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в инженерных и управленческих задачах.

1.4. Вероятностно-статистические методы и оптимизация

Идея оптимизации пронизывает  прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А  именно, методы планирования экспериментов, статистического приёмочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и другие. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.

В производственном управлении, в частности, при оптимизации  качества продукции и требований стандартов особенно важно применять  статистические методы на начальном  этапе жизненного цикла продукции, этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации: при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и тому подобном.

В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Разработаны рекомендации по выбору статистического метода для анализа конкретных данных.

2.1. Коротко об истории

Математическая статистика как наука начинается с работ  Карла Фридриха Гаусса, на основе теории вероятностей исследовавшего и обосновавшего  метод наименьших квадратов, созданный  им в 1795 году и применённый для  обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты карликовой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей — нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения — гауссовские процессы.