Математические методы и модели в экономике

 

 

Дмитриев Н.П. (НЭПИ).  Конспект лекций

 

 

Математические  методы и модели в экономике

 

Эластичность функции

 

Многие экономические проблемы, такие как изменение спроса на некоторый товар при изменении  его цены или при изменении  дохода потребителя, исследование взаимозаменяемости ресурсов производства, прогнозирование прибыли под воздействием различных факторов и т.д., приводят к необходимости ответа на вопрос: на сколько процентов изменится одна величина, если другая изменится на 1%? Такая относительная зависимость одной величины от другой называется эластичностью.

Из математического анализа  известно, что производная y^’ функции  y=f(x) в точке  х  - это предел отношения абсолютного приращения функции  ∆y=f(x+∆x)-f(x)  к абсолютному приращению аргумента  ∆x при  ∆x→0.  Введем относительные приращения аргумента и функции:

∆^*x=∆x/x,   ∆^*y=∆y/y

Эластичность  функции  y=f(x) в точке  х  - это предел отношения относительного приращения функции  ∆^*y  к относительному приращению аргумента  ∆^*x при  ∆x→0.  Выражая эластичность функции через ее производную в точке, получаем

                                                           (1)

Итак, формула (1) имеет следующий  экономический смысл:  эластичность  E_x(y)  показывает величину изменения значения функции в процентах при изменении аргумента на 1%.

 

Пример  1. Найти эластичность функции

y=5x-4

Решение.  По формуле (1) получаем:

 

Пример  2. Найти эластичность функции

y=5x²-4

Решение.  По формуле (1) получаем:

 

Справедливы следующие алгебраические свойства эластичности функции:

1. E_x(uv)=E_x(u)+E_x(v)
2. E_x(u/v)=E_x(u)-E_x(v)
3. E_x(xu)=1+E_x(u)
4. E_x(c)=0
5. E_x(cu)=E_x(u)

 

Пример  3.   Доказать, что эластичность степенной функции y=ax^b равна показателю степени b.

Решение.    Действительно,

 

 

 

Эластичность спроса по цене

 

Обозначим через  р  цену товара, а через  d  спрос на него. Тогда зависимость спроса от цены можно выразить формулой

d=d(p)

Очень часто экономиста интересует не только прямая зависимость спроса от цены, но и характер изменения спроса при изменении цены. В этом случае используют эластичность спроса относительно цены. В соответствии с определением получаем

В общем случае спрос является убывающей  функцией относительно цены. Следовательно,

Значит, E_p(d)<0. В экономических расчетах удобнее использовать положительный показатель эластичности. Таким образом, скорректированный показатель эластичности спроса по цене будет иметь вид:

                                                       (1)

Эластичность спроса относительно цены указывает: на сколько процентов  изменится спрос на товар при  изменении цены на 1%.

Если  E_d(d)>1, то  спрос на товар называется  эластичным, если E_d(d)=1, то спрос называется  нейтральным, а если  E_d(d)<1, то спрос называется  неэластичным.

Таким образом, спрос на товар эластичен, если незначительное изменение цены товара ведет к значительному  изменению спроса на него. С другой стороны, спрос на товар неэластичен, если изменение цены товара не ведет к значительному изменению спроса на него. Примерами товаров с эластичным спросом могут служить предметы роскоши, такие как автомобили, яхты и т.д. Примерами товаров с неэластичным спросом могут служить товары первой необходимости, такие как хлеб, лекарства, обувь, бензин и т.д.

 

Пример  4. Найти эластичность спроса по цене, если   d=7-0,5p

Решение.  По формуле (1) имеем

Пусть р=4. Тогда E_p(d)=0,4. Это означает, что при увеличении цены на 1% спрос падает  на 0,4%.  Такой спрос при такой цене неэластичен. Пусть теперь  р=10. Тогда  E_p(d)=2,5.  Это означает, что при увеличении цены на 1%  спрос падает  на 2,5%.  Такой спрос при такой цене эластичен

 

Пример  5. Найти эластичность спроса по цене, если        (с- const)

Решение.  По формуле (1) имеем

Это означает, что если спрос обратно  пропорционален цене, то при любой  цене увеличение ее на 1%  влечет за собой уменьшение спроса также на 1%.  Такой спрос при любой цене нейтрален.

Рассмотрим динамику выручки при  различных видах спроса. Выручка w(p)  от продажи товара по цене  р  равна

w(p)=pd(p)

Предельная выручка в экономике  – это производная от функции  выручки. По правилу дифференцирования  произведения получаем

Вынесем множитель  d(p) за скобку. Тогда

или

                                                     (2)

Из формулы (2) получаем следующие  следствия.

1. Если спрос эластичен, то  E_p(d)>1. В этом случае w^’(p)<0. Значит, с повышением цены выручка от продажи товара снижается.
2. Если спрос нейтрален, то  E_p(d)=1. В этом случае w^’(p)=0. Значит, выручка практически не зависит от цены.
3. Если спрос неэластичен, то  E_p(d)<1. В этом случае w^’(p)>0. Значит, с повышением цены выручка от продажи товара также повышается.

Итак, знание эластичности спроса на товар позволяет прогнозировать направление изменения выручки  при изменении цены. Ясно, что  продавцу товара выгодно, чтобы спрос на его товар был неэластичным. В такой ситуации можно назначать более высокие цены. Если спрос на товар эластичен, то для поддержания спроса на него необходимо заботиться о постоянном повышении качества продукции, организации обслуживании потребителей, эффективности рекламы и т.д.

 

Пример  6. Эластичность спроса на товар составляет  E_p(d)=0,6. Определить, как изменится доход от реализации товара, если цену на него поднять на 10%.

Решение.  По условию задачи E_p(d)=0,6. Это означает, что при увеличении цены на 1% спрос падает  на 0,6%.  Следовательно, при увеличении цены на 10% спрос упадет на 0,6∙10=6%. Пусть старая цена на товар равна р. Тогда новая цена равна  р^*=р+0,1р=(1+0,1)р=1,1р.

Пусть  d(p) – спрос на товар при старой цене  р. Тогда при новой цене спрос на товар составит  d^*(p)=d(p)-0,06d(p)=(1-0,06)d(p)=0,94d(p).  Выручка от продажи товара равна по старой цене равна  w(p)=pd(p). После увеличения цены выручка изменилась и стала равной

w^*(p)=p^*d^*(p)=(1,1p)(0,94d(p))=1,1∙0,94pd(p)=1,034pd(p)=1,034w(p)

Итак, w^*(p)=1,034w(p). Это означает, что при новой цене выручка возросла примерно на 3,4%. Этот результат подтверждает, что при неэластичном спросе, как в данном примере, увеличение цены приводит к повышению выручки.

 

 Пример 7. Эластичность спроса на товар составляет  E_p(d)=1,6. Определить, как изменится доход от реализации товара, если цену на него поднять на 10%.

Решение.  По условию задачи E_p(d)=1,6. Это означает, что при увеличении цены на 1% спрос падает  на 1,6%.  Следовательно, при увеличении цены на 10% спрос упадет на 1,6∙10=16%. Пусть старая цена на товар равна р. Тогда новая цена равна  р^*=р+0,1р=(1+0,1)р=1,1р.

Пусть  d(p) – спрос на товар при старой цене  р. Тогда при новой цене спрос на товар составит  d^*(p)=d(p)-0,16d(p)=(1-0,16)d(p)=0,84d(p).  Выручка от продажи товара по старой цене равна  w(p)=pd(p). После увеличения цены выручка изменилась и стала равной

w^*(p)=p^*d^*(p)=(1,1p)(0,84d(p))=1,1∙0,84pd(p)=0,924pd(p)=0,924w(p)

Итак, w^*(p)=0,924w(p). Это означает, что при новой цене выручка снизилась примерно на 7,6%. Этот результат подтверждает, что при эластичном спросе, как в данном примере, увеличение цены приводит к снижению выручки.

 

 

 

Эластичность предложения  по цене

 

Как обычно, обозначим через  р  цену товара, а через  s  предложение товара на рынке. Тогда зависимость предложения от цены можно выразить формулой

s=s(p)

Как и в случае эластичности спроса экономиста интересует не только прямая зависимость предложения от цены, но и характер изменения такого предложения  при изменении цены. В этом случае используют эластичность предложения относительно цены.

По аналогии с формулой (1) получаем

                                                      (3)

В общем случае предложение является возрастающей функцией относительно цены. Следовательно, . Значит, и E_p(s)>0. Эластичность предложения относительно цены указывает: на сколько процентов изменится предложение товара при изменении цены на 1%.

Если  E_p(s)>1, то  предложение товара называется  эластичным, если E_p(s)=1, то предложение называется  нейтральным, а если  E_p(s)<1, то предложение называется  неэластичным.

 

Пример  8. Найти эластичность предложения по цене, если   s=2+0,5p²

Решение.  По формуле (3) имеем

Пусть р=1. Тогда E_p(s)=0,4. Это означает, что при увеличении цены на 1% предложение товара повышается на 0,4%.  Такое предложение при такой цене неэластично. Пусть р=2. Тогда  E_p(s)=1.  Такое предложение при такой цене нейтрально.  Пусть теперь  р=4. Тогда  E_p(s)=1,6.  Это означает, что при увеличении цены на 1%  предложение товара повышается уже на 1,6%.  Такое предложение при такой цене можно считать эластичным.

 

Пример  9. Найти эластичность предложения по цене, если   s=ln(p+1)

Решение.  По формуле (3) имеем

Пусть  р=0,5. Тогда 

Это означает, что при увеличении цены на 1%  предложение товара повышается на 0,82%. 

Пусть  р=1. Тогда 

Это означает, что при увеличении цены на 1%  предложение товара повышается на 0,72%.

Ясно, что такое предложение  неэластично.

Цена, при которой величина спроса равна величине предложения, называется  равновесной.

 

Пример  10.  Найти равновесную цену, если функции спроса и предложения от цены имеют следующий вид:

d(p)=3-0,2p            s(p)=2+0,3p

Решение.   Приравнивая правые части этих формул, получаем  3-0,2p=2+0,3p. Отсюда находим  р=2. Итак, равновесная цена равна 2.