Математические методы

Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (12), в 3-й магазин (6)

Из 2-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (4), в 3-й магазин (3)

Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин

На 2-ом складе остался  невостребованным груз в количестве 15 ед.

Ответ: Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (12), в 3-й магазин (6), из 2-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (4), в 3-й магазин (3), из 3-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин, на 2-ом складе остался невостребованным груз в количестве 15 ед.   Минимальные затраты составят 225 у.е.

Задача №4.

Найти кратчайший путь от вершины х₀ до остальных вершин графа. Граф описывается перечнем всех своих дуг (верхняя строка) и их длинами (нижняя строка). Дуга х_iх_g с обозначается парой чисел ig.

Решение:

Алгоритм Дейкстры — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским ученым Э.Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Алгоритм Дейкстры строит кратчайшие пути, ведущие из исходной вершины графа к остальным  вершинам этого графа (если таковые имеются).

В процессе работы алгоритма  последовательно помечаются рассмотренные  вершины графа. Причем вершина, помеченная последней (на данный момент) расположена  ближе к исходной вершине, чем  все непомеченные, но дальше, чем  все помеченные.

Сначала помечается исходная вершина; следующей, очевидно, будет  помечена вершина, ближайшая к исходной, и смежная с ней.

Пусть на каком-то шаге уже  помечено несколько вершин. Известны кратчайшие пути, ведущие из исходной вершины к помеченным. Для каждой из непомеченных вершин проделаем следующее:

Рассмотрим все дуги, ведущие из помеченных вершин в одну непомеченную. Каждая такая дуга является последней дугой на пути из исходной вершины в эту непомеченную.

Выберем из этих путей  кратчайший. А затем выберем среди них самый короткий ко всем непомеченным вершинам, и пометим вершину, к которой он ведет.

Алгоритм завершится, когда будут помечены все достижимые вершины.

Путь	Возможные пути	Кратчайший путь от вершины  х0
0 - 1	0 – 1 = 40	0 – 1 = 40
0 - 2	0 –2 = 18	0 –2 = 18
0 - 3	0 –1 - 3 = 50	0 –1 - 3 = 50
0 - 4	0  - 4 = 27	0  - 4 = 27
0 - 5	0 – 4 – 5 = 72	0 – 4 – 5 = 72
0 – 6	0 - 1 – 6 =95 0 -1 – 3 – 6 = 73	0 -1 – 3 – 6 = 73
0 - 7	0 – 1 – 3 – 8 - 7 = 120 0 – 4 – 5 - 8 – 7 = 107	0 – 4 – 5 - 8 – 7 = 107
0 – 8	0 – 4 -  5 – 8 = 87	0 – 4 -  5 – 8 = 87
0 - 9	0 – 4 – 5 – 9 = 112 0 – 2- 9 = 81	0 – 2- 9 = 81
0 - 10	0 – 2 – 9 – 10 = 116	0 – 2 – 9 – 10 = 116

 

Ответ:

Путь	Кратчайший путь от вершины  х0
0 - 1	0 – 1 = 40
0 - 2	0 –2 = 18
0 - 3	0 –1 - 3 = 50
0 - 4	0  - 4 = 27
0 - 5	0 – 4 – 5 = 72
0 – 6	0 -1 – 3 – 6 = 73
0 - 7	0 – 4 – 5 - 8 – 7 = 107
0 – 8	0 – 4 -  5 – 8 = 87
0 - 9	0 – 2- 9 = 81
0 - 10	0 – 2 – 9 – 10 = 116

 

Задача № 5.

Найти оптимальный план транспортной задачи, описываемой соответствующей таблицей, удовлетворяющий указанным ниже дополнительным условиям.

ДУ: Должен быть вывезен весь груз из пунктов А₃ и А₂.

Решение:

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы  груза из каждого пункта отправления  в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	3	5	4	3	70
2	2	7	5	2	60
3	4	6	7	4	70
Потребности	40	40	40	40

 

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 70 + 60 + 70 = 200

∑b = 40 + 40 + 40 + 40 = 160

Как видно, суммарная  потребность груза в пунктах  назначения превышает запасы груза  на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 40 (200—160). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	3	5	4	3	0	70
2	2	7	5	2	0	60
3	4	6	7	4	0	70
Потребности	40	40	40	40	40

 

Этап I. Поиск первого  опорного плана.

1. Используя метод  наименьшей стоимости, построим  первый опорный план транспортной  задачи.

Суть метода заключается  в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают  либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части  таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс  распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

 

	1	2	3	4	5	Запасы
1	3	5[10]	4[20]	3	0[20]	70
2	2[40]	7	5[20]	2	0	60
3	4	6[30]	7	4[40]	0	70
Потребности	40	40	40	40	40

 

В результате получен  первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число  занятых клеток таблицы, их 7, а  должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно,  опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции  для этого опорного плана равно:

F(x) = 5*10 + 4*20 +  2*40 + 5*20 + 6*30 + 4*40  = 650

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные  потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 5; 0 + v₂ = 5; v₂ = 5

u₃ + v₂ = 6; 5 + u₃ = 6; u₃ = 1

u₃ + v₅ = 0; 1 + v₅ = 0; v₅ = -1

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

u₂ + v₄ = 2; 3 + u₂ = 2; u₂ = -1

u₂ + v₁ = 2; -1 + v₁ = 2; v₁ = 3

	v1=3	v2=5	v3=4	v4=3	v5=-1
u1=0	3	5[10]	4[20]	3	0[20]
u2=-1	2[40]	7	5[20]	2	0
u3=1	4	6[30]	7	4[40]	0

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 5*10 + 4*20 +  2*40 + 5*20 + 6*30 + 4*40  = 650

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (10), в 3-й магазин (20)

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (40), в 3-й магазин (20)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (30), в 4-й магазин (40)

Ответ: Из 1-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (10), в 3-й магазин (20), в 4-й магазин (40), из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (40), в 3-й магазин (20), из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (30), в 4-й магазин (40), при этом минимальные затраты составят 650 у.е.

 

 

Литература

 

1. Раковщик Л.С. Элементы линейного программирования.  СПб.:  СПбГИЭУ, 2000.
2. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учебное пособие/Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П.-М. :Инфра-М, 2003.-443с. Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию.
3. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. «Инфра-М», 2006. – 656 с.
4. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. «Инфра-М», 2001. – 575 с.
5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. Высшая школа, 1993.