Математический анализ

Условия применения средних величин в анализе 

Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака.

Если исследуемое  явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала  средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут  выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем  рассчитывается для всех элементов  общая средняя величина, характеризующая  явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного  условия повлекло бы за собой ограничение  возможностей статистического анализа  общественных процессов. Поэтому, часто  средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при  расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда  совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах  и в южных районах Тюменской  области, а затем полученный средний  уровень заработной платы труда  сопоставляется с соседними сибирскими регионами.  

Еще одним важным условием применения средних величин  в анализе является достаточное  количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее  значение признака. Достаточность анализируемых  единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном  этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.

Определение максимального  и минимального значения признака в  изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

Виды средних  величин.

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию  признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя  величина.

2. По форме  расчета: 

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая  величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату  совокупности:

а) групповая  средняя величина;

б) общая средняя  величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя  величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя  величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются  сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета  выделяют несколько видов средних  величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная  средняя величина имеет форму:

,

где - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях  степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1):

Таблица 1

Степень средней величины (k) Название средней -1 гармоническая 0 геометрическая  1 арифметическая  2 квадратическая 3 кубическая

Выбор формы  средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение  исходного соотношения для исследуемого  показателя.

2. Определение  недостающих данных для расчета  исходного соотношения. 

3. Расчет средней  величины.

Рассмотрим некоторые  виды средних, которые наиболее часто  используются в статистике.Для этого введем следующие понятия и обозначения:

Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х"

x

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " .

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.