Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный  экономический университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ.

Вариант № 5.

 

 

 

 

 

Исполнитель: студент 

Специальность: Управление качеством

группа: УК 11 Ом

Мусиенко А.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2012

 

 

Задание 1.(тема 1) Пределы функций

 

а)

 

в)

 

г)

 

Задание 2.(тема 3) Исследование функций

 

Исследовать функцию и построить её график

 

 

1) Функция определена на всей числовой оси xÎ(-¥;+¥)

2) Изменение функции при x, стремящихся к концам промежутков области существования

 

 

 

3) Точки экстремума ,промежутки возрастания и убывания функции

Исследуем знак первой производной

xÎ(-¥;-1/2) y’(0)<0 функция убывает

xÎ(-1/2;∞) y’(4)>0 функция возрастает

x=-1/2 – точка min

4) Интервалы выпуклости вогнутости функции (интервалы монотонности)

исследуем знак второй производной

xÎ(-¥;-1/2) y’(-2)>0 функция вогнута вверх

xÎ(-1/2;¥) y’(4)>0 функция вогнута вверх

5) Точки пересечения графика функции с осями координат.

x=0 y=0

(0;0) (-1;0)

 

6) Ассимтот нет

Сведём данные в одну таблицу

X	(-¥;-1/2)	-1/2	(-1/2;¥)
Y’	-	0	+
Y’’	+		+
Y	Функция убывает График вогнут вверх	Min Y=-0.25	Функция возрастает График вогнут вверх

 

 

7) График функции

 

 

Задание 3.(тема 4) Неопределённый интеграл

 

а)

б)

в)     

 

 

 

 

Задание 4.(тема 5) Определённый интеграл.

4.1 Вычислить определенный интеграл:

 

 

4.2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж.

 

 

 

Тогда площадь  искомой фигуры равна:

 

        (кв.ед)

 

Задание 5.(тема 6) Несобственный интеграл.

 

Вычислить интеграл или установить его расходимость

 

а)

б)

 

 

 

 

 

Задание 6.(тема 7) Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.

 

Используем  признак сравнения Даламбера.

Пусть дан  ряд с положительными членами  и существует предел

Если  q<1 - ряд сходится

Если  q>1 - ряд расходится

Найдём

 

 

0,8<0 из  этого следует, что ряд сходится.

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда.

 

 

Составим  ряд из модулей проверим на абсолютную сходимость

 По признаку Даламбера  находим 

 

экстремум функция дифференциальный уравнение

-9<x<-1 - область сходимости данного степенного ряда

Исследуем на сходимость степенной ряд на концах интервала

X=-9

 это знакочередующийся ряд

расходится, так как не выполнено необходимое  условие сходимости.

X=-1

 расходится, так как не  выполнено необходимое условие  сходимости.

Ответ: область  сходимости степенного ряда при

 

Задание 7.(тема 8) Функции нескольких переменных.

 

Исследовать функцию на экстремум.

 

 

1) x- может принимать любые значения, y- не равно 2

2) найдем  первые производные по x и y

 

 

Обе производные  существуют, найдём точки, где обе производные равны нулю

  решая систему получаем две точки

  - точки, подозрительные на экстремум

3) Проверим  выполнение достаточных условий  экстремума. Найдём частные производные  второго порядка

Сосчитаем

 

 

ничего  определённого сказать нельзя.

 

Задание 8.(тема 9.) Решение дифференциальных уравнений.

 

Найти общее  и частное решение дифференциального  уравнения

 

 

Найдём  частное решение, удовлетворяющее  начальным условиям

 

Найти общее  решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным  условиям y(0)=1, y’(0)=1

 

 

Составим  характеристическое уравнение соответствующее  однородному дифференциальному  уравнению

 

 

Общее решение  линейного однородного уравнения  имеет вид 

Найдём  частное решение, удовлетворяющее  заданным начальным условиям y(0)=1

 

 

 

 

 удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1, y’(0)=1