Математическое планирование эксперимента

1. Выбор варианта В12

1) оптимизирующий параметр  – относительное удлинение δ

Таблица 1.1

Мех. показатель	1	2	3	4	5	6	7	8
δ, %	34,1	27,8	30,9	24,9	35,2	34,1	32,1	29,1

 

2) результаты откликов

3) предлагаемые приоритеты:

      x₂x₃ и x₂x₄, x₁ – самый слабый

4) варианты основных уровней  оптимизирующих параметров:

Таблица 1.2

X1	X2	X3	X4
C, %	Mn, %	Si, %	T, ° C
0,16	0,94	0,04	850

 

5) величина изменения  факторов:

Таблица 1.3

Фактор	X1	X2	X3	X4
Шаг изменения	0,01	0,06	0,01	50
Интервал изменения	0,04	0,24	0,04	200

 

2. Составление  таблиц условий эксперимента

В данную таблицу нужно  занести основной уровень факторов, верхний и нижний пределы и  шаг изменения факторов. Верхний  предел определяется как результаьт сложения основного уровня с половиной интервала его изменения.

Таблица 2.1 Условия эксперимента

Факторы	C, %	Mn, %	Si, %	T, ° C
Основной уровень фактора	0,16	0,94	0,05	850
Шаг изменения	0,01	0,06	0,01	50
Верхний предел изменения	0,18	1,06	0,07	950
Нижний предел изменения	0,14	0,82	0,03	750

3. Составление  оптимального плана эксперимента (реплика ½)

Дробный факторный эксперимент  на двух уровнях с 4 факторами состоит  из 8 опытов и идентичен полному  факторному плану для 3 факторов, в  котором вместо наиболее слабого  тройного взаимодействия вводится четвертый  фактор X4 = X1X2X3

Таблица 3.1 Дробный факторный  эксперимент 2^4-1

№ оп.	Услов. фактор	C, %	Mn, %	Si, %	T, ° C	CMn	CSi	MnSi	Значение мех. характеристики δ
	X0	X1	X2	X3	X4=X1X2X3	X1X2	X1X3	X2X3	Yi
1	1	1	1	1	1	1	1	1	34,1
2	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	27,8
3	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	30,9
4	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	24,9
5	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	35,2
6	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	34,1
7	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	32,1
8	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	29,1

 

4. Учет приоритетов

Для учета заданного приоритета необходимо произвести переименование факторов. В данном случае X1 переименуем в X4, т.к. X4=X1X2X3  и является самым слабым эффектом в связи с чем взаимодействия с ним не будут в дальнейшем рассматриваться. Тогда перепишем предыдущую таблицу с учетом указанных приоритетов.

Таблица 4.1

№ оп.	Услов. фактор	T, °C	Mn, %	Si, %	C, %	TMn	TSi	MnSi	Значение механической характеристики δ
	X0	X1	X2	X3	X4=X1X2X3	X1X2	X1X3	X2X3
1	1	1	1	1	1	1	1	1	34,1
2	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	27,8
3	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	30,9
4	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	24,9
5	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	35,2
6	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	34,1
7	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	32,1
8	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	29,1

 

 

 

 

5. Определение  генерирующего и смешивающих соотношений

 

После проведенной замены X4=X1X2X3 найдем генерирующее соотношение, для чего умножим обе части выражения на X4:

X4²→X1X2X3X4

Получаем генерирующее соотношение:

1→X1X2X3X4

Отсюда выводим смешивающие  соотношения:

b0→β0+β1234

b1→β1+β234

b2→β2+β134

b3→β3+β124

b4→β4+β123

b12→β12+β34

b13→β13+β24

b23→β23+β14

 

6. Рандомизация

С целью чменьшения систематических ошибок, проводится рандомизация порядка выполнения опытов:

Таблица 6.1 Рандомизация опытов

№ опыта до	1	2	3	4	5	6	7	8
№ опыта после	7	5	2	3	1	4	8	6

 

 

 

 

 

Таблица 6.2 План эксперимента с учетом рандомизации

№	Услов. фактор	T, ° C	Mn, %	Si, %	C, %	TMn	TSi	MnSi	Значение механической характеристики δ
	X0	X1	X2	X3	X4=X1X2X3	X1X2	X1X3	X2X3	Yi
1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	32,1
2	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	35,2
3	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	27,8
4	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	30,9
5	1	1	1	1	1	1	1	1	34,1
6	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	24,9
7	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	29,1
8	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	34,1

 

Это окончательная таблица  является планом реального эксперимента.

7. Составление  плана реального эксперимента

Таблица реального эксперимента составляется для реальных значений каждого фактора на верхнем уровне (когда к основному значению прибавляется шаг изменения фактора +1) и нижнем уровне (когда из основного значения вычитается шаг изменения фактора -1) .

Таблица 7.1

№	T, ° C	Mn, %	Si, %	C, %	Значение механической характеристики δ
1	900	0,88	0,04	0,17	32,1
2	900	1	0,04	0,15	35,2
3	800	1	0,06	0,15	27,8
4	900	0,88	0,06	0,15	30,9
5	900	1	0,06	0,17	34,1
6	800	0,88	0,06	0,17	24,9
7	800	0,88	0,04	0,15	29,1
8	800	1	0,04	0,17	34,1

 

В плане реального эксперимента условный фактор и эффекты взаимодействия опускаются, т.к Х0 в уравнении функции отклика вводитcя для симметрии и подсчитывается всегда как среднее арифметическое всех Yi ( со знаком +). Эффекты взаимодействия Х1Х2=TMn и т.д. также не могут быть заданы, т.к. они подсчитываются как b12 и т.д. 

8. Расчет оценок  коэффициентов 

Линейная часть уравнения  функции отклика для 4-х факторов будет иметь вид: 
y = b₀ X₀ + b₁ X₁ + b₂ X₂ + b₃ X₃ + b₄ X₄ +b₁₂ X₁ X₂+ b₁₃ X₁ X₃+ b₂₃ X₂ X₃

Коэффициенты модели находятся  по формуле:

  ,

где     N – число опытов;

           i – номер опыта;

           j – номер столбца в плане.

Символ Х_ij определяет знак (уровень), с которым необходимо учесть Y_ij для данного фактора и данного опыта.

b0 = 1/8 ( 32,1+35,2+27,8+30,9+34,1+24,9+29,1+34,1) = 31,03

b1 = 1/8 (32,1+35,2-27,8+30,9+34,1-24,9-29,1-34,1) = 2,05

b2 = 1/8 (-32,1+35,2+27,8-30,9+34,1-24,9-29,1+34,1) = 1,78

b3 = 1/8 (-32,1-35,2+27,8+30,9+34,1+24,9-29,1-34,1) = - 1,6

b4 = 1/8 (32,1-35,2-27,8-30,9+34,1+24,9-29,1+34,1) = 0,3

b12 = 1/8 (-32,1+35,2-27,8-30,9+34,1+24,9+29,1-34,1) = - 0,2

b13 = 1/8 (-32,1-35,2-27,8+30,9+34,1-24,9+29,1+34,1) = 1,03

b23 = 1/8 (32,1-35,2+27,8-30,9+34,1-24,9+29,1-34,1) = - 0,25

9. Проверка правильности  вычислений оценок коэффициентов 

Расчет считается правильным, если выполняется соотношение:

 

где m- число оценок коэффициентов модели (m=8); 
       n-число опытов (n=8).

;

 

2,86 3,82

Неравенство выполняется, следовательно, расчет коэффициентов верный.

10. Определение  дисперсии опыта

Считая, что при  ортогональном  плане все оценки коэффициентов  имеют одинаковую дисперсию, подсчет  проводим двумя способами: по оценкам  главных эффектов и по эффектам взаимодействия.

S;

где n- число опытов;

       k-число оценок параметров главных эффектов (k=5, без коэффициентов взаимодействия).

       v- число степеней свободы (n-(k+1))=3, где k-число эффектов.

= -8972,88)/3=6,5/3=2,2;

;

где сумма квадратов оценок параметров эффектов взаимодействия. Обе оценки должны быть близки по значению.

 

 

11. Расчет дисперсии  оценок коэффициентов и доверительного  интервала 

Расчет производится по формуле :

=

где n- число опытов (n=8);

 Отсюда среднеквадратичное  отклонение:

 

Доверительный интервал:

 

где- двусторонние критические точки Стьюдента

для P=0,95 и n=N-k=8-4=4. Если , а , то доверительный интервал:

0,278

12. Построение  реальной модели

Посчитав значение коэффициентов, построим модель в нормированном  виде, т.е. вместо и пр. подставляем их значения в уравнение приведенное в пункте 7.

y=31,3+2,05х1+1,78х2-1,6х3+0,3х4-0,2х1х2+1,03х1х3-0,25х2х3

Переход к реальной модели осуществляется по формуле:

 

где - соответственно максимальный (+1) и минимальный (-1) реальный уровень фактора.

 

 

 

 

 

y= 31,3+2,05 ()+1,78 ()-1,6()-0,2()- 0,2())+1,03())-0,25) ()

у= 8,95+104,6+68,56-419,87-10-334+5150-208,75

 

13.Проверка эффективности  движения по градиенту

Построенная модель отклика  может быть адекватной и неадекватной. В случае, когда модель адекватна, т.е. с достаточной точностью описывает  изучаемое явление, но выбранная  область варьирования факторов не находится  вблизи экстремума, необходимо продолжить исследования. Для поиска экстремума можно осуществить метод крутого  восхождения (движения по градиенту). Для  чего необходимо найти новые точки  отсчета, начиная с которых осуществляется «пошаговое исследование». Для решения  вопроса об адекватности модели и  эффективности по градиенту нужно  рассчитать следующее неравенство:

 

где - критичесская двусторонняя точка Стьюдента, которая определяется при Р=0,95 и числа    степеней свободы v=n-(k+1);

-дисперсия оценок  коэффициентов. (Для приведенного  случая берется сумма квадратов  4-х главных эффектов, не включая  ).

                                                         =

972,88

Так как данное неравенство  выполняется, то, значит, требуется  дальнейшее исследование модели методом  крутого восхождения.

14. Расчет радиуса- вектора

Для осуществления крутого  восхождения необходимо рассчитать радиус по формуле:

==1

где k-число факторов на данном этапе;

       j- номер этапа (на пути крутого восхождения). В нашем случае j=1, так как это первый этап крутого восхождения.

15. Проверка значимости  коэффициентов 

Для движения по градиенту  осуществим проверку значимости коэффициентов  по формуле:

;

Если неравенство выполняется, то коэффициент незначим и на следующем  этапе исследования его фиксируют  на одном уровне, близком к основному. В дальнейших расчетах такой коэффициент  не участвует.

Для данного случая:

1. 0,650,25, b1 значимый
2. 0,560,25, b2 значимый
3. 0,500,25, b3 значимый
4. 0,030,25, b4 не значимый

Отсюда видно, что все коэффициенты значимые, кроме b4.

 

 

16. Расчет новых  центральных точек

Рассчитываем центральные  точки опыта на первом этапе крутого  восхождения по формуле:

 

=0,07

=0,06

= - 0,05

Реальные значения новых  точек находим по формуле:

 

где- значение фактора в новой точке в нормированном виде, найденное из уравнения

1)

2) %

3)