Матрица и определители

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r(A) = n. При этом  число уравнений - не меньше  числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями  остальных. Если 0 < r < n, то система  является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно  уметь решать системы, в которых  число уравнений равно числу  неизвестных, - так называемые системы  крамеровского типа:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ (5.3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a_n1x₂ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом  Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом  решения систем линейных уравнений  является метод Гаусса, или метод  последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

 Формулы  Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij)

и n вспомогательных  определителей Δ_i (i =  ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i =  ). (5.4)

Из (5.4) следует правило  Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный  определитель системы Δ и все  вспомогательные определители Δ_i = 0 (i =  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Векторы. Операция над векторами.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

 

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится  в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем  вектора называется расстояние между  его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны  одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям  над векторами относятся:

1) умножение вектора  на число (Произведением вектора  a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α  a| =|α||a|, а направление совпадает  с направлением вектора a, если  α>0, и противоположно ему, если  α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов   называется вектор, обозначаемый  , начало которого находится в начале первого вектора a₁, а конец – в конце последнего вектора a_n, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией  векторов a_i называется вектор a, определяемый по формуле  , где   – некоторые числа.

Если для системы n векторов a_i равенство

верно только в случае, когда   эта система называется линейно независимой. Если же равенство выполняется для  , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē₁, ē₂, ē₃ в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē₁, ē₂, ē₃, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē_{1 +} yē₂ + zē₃, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē₁, ē₂, ē₃. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Пример 5. Векторы  заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8),  е₁ = (1,2,3), е₂ = (1,-1,-2), е₃ = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е₁,е₂,е₃ образует базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение. Если определитель  , составленный из координат векторов е₁, е₂, е₃, не равен 0, то векторы е₁,е₂,е₃ линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что  = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е₁, е₂, е₃ - базис.

Обозначим координаты вектора a в базисе е₁, е₂, е₃ через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе₁ + yе₂ + zе₃. Так как по условию а = 2i – j +8k , е₁ = i +2j +3k , е₂ = i – j -2k, е₃ = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе₂ + zе₃следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z:

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е₁ – е₂ + е₃ = (2,-1,1).

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Прямая на плоскости, кривые 2 порядка.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

Прямую на плоскости можно задать: 

• двумя точками;
• точкой и направлением (угловым коэффициентом);
• отрезками на осях (точками пересечения с осями координат).

Соответственно, аналитическая геометрия рассматривает  основные задачи на прямую на плоскости, связанные с этими способами. 
 
Первая из этих основных задач: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки и построить эту прямую. 
 
Традиционный способ решения задач аналитической геометрии состоит в использовании известных уравнений. Так, на плоскости уравнение прямой, проходящей через две данные точки c координатами (a, b) и (c, d) имеет вид: 

 
Основные характеристики такой прямой можно вычислить  по координатам данных точек. Например, точка пересечения с осью абсцисс (Ох), точка пересечения с осью ординат (Оу) и угловой коэффициент прямой (наклон прямой) вычисляются по формулам, соответственно: 

         

Расстояние  между данными точками (a, b) и (c, d) вычисляется по формуле: 

 
Координаты середины отрезка, соединяющего точки (a, b) и (c, d): 

-

 

 

 

 

 

 

В плоскости, в некоторой  прямоугольной системе координат  ,  , пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

,                                                        

где   - заданные действительные числа. При этом числа   одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек   с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению.В этом случае говорят, что уравнение определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

может служить примером уравнения  второй степени, определяющего мнимую кривую.

Важные случаи общего уравнения кривой второго  порядка.

Перечислим шесть важнейших  частных случаев общего уравнения:

1) Уравнение эллипса

с полуосями длины   и  . В частности, при   уравнение окружности

с центром в начале координат  и радиусом  .

2) Уравнение гиперболы

с полуосями   и  .

3) Уравнение параболы

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

.

5) Уравнение  пары параллельных или совпадающих прямых

.

6) Уравнение, определяющее  точку,

.

Остановимся вкратце на перечисленных  кривых.