Метод Гаусса

 

 

 

3. Методом Гаусса решить систему  уравнений:  

Найти одно из ее базисных решений.

Решение:

 
Перепишем систему уравнений  в матричном виде и решим его  методом Гаусса

	2	-3	-1	-9	-7
	3	2	-8	-7	-17
	1	2	-4	-1	-7
	4	7	-15	-5	-27

 

1-ую строку  делим на 2

	1	-1.5	-0.5	-4.5	-3.5
	3	2	-8	-7	-17
	1	2	-4	-1	-7
	4	7	-15	-5	-27

 

от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3; 1; 4

	1	-1.5	-0.5	-4.5	-3.5
	0	6.5	-6.5	6.5	-6.5
	0	3.5	-3.5	3.5	-3.5
	0	13	-13	13	-13

 

2-ую строку  делим на 6.5

	1	-1.5	-0.5	-4.5	-3.5
	0	1	-1	1	-1
	0	3.5	-3.5	3.5	-3.5
	0	13	-13	13	-13

 

от 1; 3; 4 строк  отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -1.5; 3.5; 13

	1	0	-2	-3	-5
	0	1	-1	1	-1
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0

 

Ответ:

	x1 + (-2)x3 + (-3)x4 = -5
	x2 + (-1)x3 + x4 = -1

 

 

4. При каком значении параметра α векторы p = {1;–2;1;} , q= {− 3; 1; 0}, r= {α; 5; -2} будут линейно зависимыми?

Запишем координаты векторов в определитель и приравняем нулю (определитель равен нулю тогда  и только тогда, когда строки и  столбцы линейно зависимы) 
 
| 1   -3    a | 
| -2   1    5 | = 0 
| 1    0    -2|  
-2 -15 - a + 12 = 0 
a = -5 
 

5. Определить  вид и расположение кривой  второго порядка   приведя ее уравнение к каноническому виду. составить уравнение прямой проходящей через вершину кривой второго порядка параллельно прямой  . и сделать чертеж

 

Дано уравнение  кривой: 
x² - 2x - 2y + 3 = 0 
1. Определить тип кривой. 
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 
3. Найти соответствующие преобразования координат. 
Решение. 
Приводим квадратичную форму 
B = x² 
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

1 0 0 0

 
Находим собственные числа и собственные  векторы этой матрицы: 
(1 - λ)x₁ + 0y₁ = 0 
0x₁ + (0 - λ)y₁ = 0 
Характеристическое уравнение:

1 - λ 0 0 0 - λ

= λ 2 - λ = 0

 
λ² - λ + 0 = 0 
D = (-1)² - 4 • 1 • 0 = 1 
 
 
Исходное уравнение определяет параболу (λ₂ = 0) 
Вид квадратичной формы: 
x² 
Выделяем полные квадраты: 
для x₁: 
(x₁²-2•1x₁ + 1) -1•1 = (x₁-1)²-1 
Преобразуем исходное уравнение: 
(x₁-1)² = 2y + -2 
Получили уравнение параболы: 
(x - x₀)² = 2p(y - y₀) 
(x₁-1)² = 2*1(y - 1) 
Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x₀, y₀), т.е. в точке (1;1) 
Параметр p = 1 
Координаты фокуса: 
 
Уравнение директрисы: y = y₀ - p/2 
y = 1 - ¹/₂ = ¹/₂