Метод конечных элементов

Реферат МКЭ  Нияз Н.Д.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И КУЛЬТУРЫ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МЕЖДУНАРОДНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ  КОРПОРАЦИЯ

КАЗАХСКАЯ ГОЛОВНАЯ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

РЕФЕРАТ

По дисциплине: «Современные комьютерные технологии»

На тему: «Метод конечных элементов»

 

 

 

 

Выполнил: ст. гр. стр-11-8

Нияз Н.Д.

Проверила: Ходжагали  И.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Алматы 2013

 

Содержание

Идея метода

Иллюстрация метода на одномерном примере

Преимущества и недостатки

История развития метода

Литература

Ссылки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Идея метода

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иллюстрация метода на одномерном примере

 

Пусть в одномерном пространстве Р1 необходимо решить следующее одномерное дифференциальное уравнение для нахождения функции   на промежутке от 0 до 1. На границах области значение функции   равно 0:

где   известная функция,   неизвестная функция от  .   вторая производная от   по  . Решение поставленной задачи методом конечных элементов разобьём на 2 этапа:

• Переформулируем граничную задачу в так называемую слабую (вариационную) форму. На этом этапе вычислений почти не требуется.
• На втором этапе разобьём слабую форму на конечные отрезки-элементы.

После этого  возникает проблема нахождения системы  линейных алгебраических уравнений, решение  которой аппроксимирует искомую  функцию.

Если   есть решение, то для любой гладкой функции  , которая удовлетворяет граничным условиям   в точках   и  , можно записать следующее выражение:

(1) 

С помощью интегрирования по частям преобразуем выражение (1) к следующей форме:

(2)

Оно получено с  учётом того, что  .

Разобьём область, в которой ищется решение

такое, что

на конечные промежутки, и получим новое пространство   :

(3)   такое, что

где   кусочная область пространства  . Есть много способов для выбора базиса  . Выбирем в качестве базисных функций такие  , чтобы они представлялись прямыми линиями (полиномами первой степени):

для   (в данном примере  )

Если теперь искомое приближённое решение представить  виде  , а функцию   аппроксимировать как  , то с помощью (3) можно получить следующую систему уравнений относительно искомых  :

,

где  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преимущества  и недостатки

Метод конечных элементов сложнее метода конечных разностей в реализации. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

Долгое время  широкому распространению МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического  разбиения области на «почти равносторонние»  треугольники (погрешность, в зависимости от вариации метода, обратно пропорциональна синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту задачу удалось успешно решить (алгоритмы основаны на триангуляции Делоне), что дало возможность создавать полностью автоматические конечно элементные САПР.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История развития метода

Возникновение метода конечных элементов связано  с решением задач космических  исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием  вычислительных средств возможности  метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя МКЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

• Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984
• Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц. — М.: Мир, 1976
• Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике — М.: Мир, 1975.
• Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986
• Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов — М.: Мир, 1979. — 392 С.

 

Ссылки

• Метод конечных элементов, В. В. Смирнов (Бийский технологический институт)
• Боровков А.И. и др. Компьютерный инжиниринг. Аналитический обзор - учебное пособие. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. — 93 с. — ISBN 978-5-7422-3766-2