Метод Прямоугольников

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

 

      Задача вычисления интегралов возникает во многих областях математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией  на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод формулы прямоугольников

 

 

          Прежде, чем перейти к формуле  прямоугольников, сделаем следующее  замечание:

 З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а

 - некоторые точки отрезка [a, b]. Тогда на этом отрезке найдётся точка такая, что среднее арифметическое  .

   В самом деле, обозначим  через m и M точные грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим

   Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на отрезке [a, b] найдётся точка такая, что

.  

 

    Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

 

Прежде всего, вторично используя  эту мысль, которая привела к  самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

  (1)

где , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

                                (рис.1)

На практике обычно берут  ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде

.

 

   

 

 

Дополнительный член в формуле  прямоугольников

 

Перейдём к отысканию  дополнительного члена в формуле  прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

  У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на отрезке  [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом отрезке найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

             (2)

Доказательство.

      Оценим , считая, что функция f(x) имеет на отрезке [-h, h] непрерывную вторую производную     Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

 

     Для первого  из этих интегралов получим

     Для второго  из интегралов аналогично получим

    Полусумма  полученных для  и выражений приводит к следующей формуле:

 

   (3)

   Оценим величину  , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на отрезке [-h, 0] и точка на отрезке

[0 ,h] такие, что

   В силу доказанного  замечания на отрезке [-h, h] найдётся точка такая, что     

Поэтому для полусуммы  мы получим следующее выражение:

 

  Подставляя это  выражение в равенство (3), получим,  что

  (4)

где

  .  (5)

  Так как величина  представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок

    Таким образом,  формула  тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

   И к каждому  из указанных интегралов применить  формулу (4). Учитывая при этом, что длина отрезка равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой

  Здесь  . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры

 

    Для примеров  возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.

    П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл .

 По формуле Ньютона-Лейбница, получим

 Теперь применим формулу прямоугольников

1.   .
2.   .
3.   .
4.   .
5.   .
6.   .
7.   .
8.   .
9.   .
10. .

     

Сумма   .

 

Таким образом, .

В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.

      П р и м е р 2.  Вычислим интеграл с точностью до 0,001.

 Применяя формулу  Ньютона-Лейбница, получим  .

 Теперь воспользуемся  формулой прямоугольников.

  Так как для  имеем (если ), то

  Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на С этой целью достаточно вычислять значение функции с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:

1.   .
2.   .
3.   .
4.   .
5.   .
6.   .
7.   .
8.   .
9.   .
10.  

Сумма 6,9284.

  .

 Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему арифметическому) содержится между , а также принимая во внимание оценку дополнительного члена , найдём, что содержится между границами и , а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

      Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

      Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x)

мы исходили из разбиения  основного отрезка [a, b] на достаточно большое число n равных частичных отрезков одинаковой длины h и из последующей замены функции f(x) на каждом частичном отрезке многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

         Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного отрезка [a, b] на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных отрезков, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (§§ 332, 335).
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).