Методы решения тригонометрических уравнений

 

 

 

 

Методы решения

тригонометрических уравнений.

 

1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического  квадратного корня перейдем к  равносильной системе уравнений.

        

Ответ:

 

2) Решение тригонометрических уравнений  разложением на множители.

        

         или

        

        

  или        решений нет

   

Отметим полученные решения и область  определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

 

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

          

   или   

   Т.к.

   при , то корней нет.

Ответ:

 

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

  или  

     

     

  

Ответ: ;

 

5) Решение тригонометрических уравнений  преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного  уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

 

6) Решение тригонометрических уравнений  с применением формул понижения  степени.

  

Пусть , тогда

   или   

     Т.к.

     при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений  как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

 

Если  , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

 

8) Решение тригонометрических уравнений  с помощью введения вспомогательного  аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения  на , получим

Т. к. и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

    Ответ:

Теория.

1) если  , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел или не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к. и , то существует такой угол , что , тогда

а) если, т. е. , то корней нет.

в) если, т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

 

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

 (1)

 (2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

Проверка.

Если  , тогда

- не верно, значит  , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

 

10) Решение тригонометрических  уравнений с помощью замены  неизвестного.

Уравнение вида решается следующей заменой , , ,

 

Способ I

Пусть , , , , получим

   или   

       (3)

Разделим на , получим  

     

    Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при 

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

1. применение формулы .
2. через .
3. привести к однородному уравнению второй степени.
4. способ введения вспомогательного аргумента.
5. с помощью неравенства , при .
6. метод оценки левой и правой частей уравнения.

 

Способ II

 

  или  

Разделим на , получим  

     

    Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

 

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

 

12) Решение тригонометрических  уравнений содержащих тригонометрические  функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

  или  

   

Отметим поученные решения и  условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

 

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно .

  и   то корней нет.

Отметим поученные решения и  условие 1 на тригонометрическом круге.

 

 

 

Ответ: