Метот Рунге кутта

 

                                                Метод Эйлера

 

В соответствии с алгоритмом Эйлера в узловых точках вычисляются приращения Dyi = f(xi)×h = - h×sin(xi) и соответствующие значения результата yi+1 = yi + Dyi,  здесь  y0 = 1. Расчет оформляется в виде таблицы:

 

Узлы   xi	Dyi	yi	yT(xi)	Ошибка
0     0.7458     1.5708     2.3562	0   - 0.5554   - 0.7854   - 0.5554	1          1      0.4446   - 0.3408	1     0.7071          0  - 0.7071	0  - 0.2929  - 0.4446  - 0.3663

                                                            -  10  -

3.1416     3.3270     4.7124     5.4978     6.2832

0     0.5554     0.7854     0.5554          0

- 0.8962   - 0.8962   - 0.3408      0.4446            1

- 1   - 0.7071           0      0.7071           1

- 0.1038     0.1891     0.3408     0.2625           0

 

 

       Результаты используются  для построения сравнительного графика, иллюстрирующего эффективность методов.

 

 

 

                       Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (классический)

 

Вычисления по методу Рунге-Кутты реализованы в программе, напи-санной на языке С++. Для построения сравнительного графика выполнен расчет в тех же узловых точках. Видно, что при некотором увеличении трудоемкости  метод Рунге-Кутты дает значительный выигрыш по точности вычислений.

       

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     -  12  -

 

 

 

 

                                                5.     Заключение

 

 

В работе рассмотрен численный метод Рунге-Кутты с выбором шага интегрирования. Приведены необходимые теоретические сведения, сравне-ние проведено с методом ломаных Эйлера. В качестве практического примера рассмотрена задача Коши для уравнения y¢ = - sin x при начальном условии  y(0) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     -  14  -

 

                     6.  Список использованных источников

 

 

 

[1].  Демидович Б.П.,  Марон И.А.,  Шувалова Э.З.  «Численные методы

       анализа»,  М.,  Физматгиз,  1963 г., 400 стр.

 

[2].  Холл Д., Уатт Д.  «Современные  численные методы решения обыкно-

        венных дифференциальных  уравнений», М., Мир, 1979, 312 с.

 

[2].  Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер  Г.  «Решение обыкновенных дифферен-циальных  уравнений. Нежесткие задачи», М., Мир, 1990, 512 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      -  15  -