Модель Солоу с производственной функцией Кобба - Дугласа

2.1.3 Выбор оптимальной нормы накопления

Опираясь на модель Солоу, на каждом уровне нормы сбережения стоит определённое, соответствующее ему, устойчивое состояние. Именно поэтому возникает проблема выбора оптимальной нормы сбережения. Выбирая в пользу одного или другого устойчивого состояния, политик, который преследует цель максимизировать экономическое благосостояние общества, предпочтет устойчивое состояние с наивысшим уровнем потребления.

Уровень накопления капитала, который обеспечивает устойчивое состояние с самым высоким уровнем потребления, называется Золотым уровнем накопления капитала9. Дадим ему обозначение k**. Чтобы найти потребление в устойчивом состоянии, проведем преобразование тождества y = с + i. Получим:

 

с = y – i

 

Заменяем значения y и i на их величины в условиях устойчивого уровня капиталовооружённости. Исходя из этого, потребление на одного работника в устойчивом состоянии можно выразить как

 

c* = f(k*) – δk*

 

С помощью этого равенства мы видим, как капиталовооружённость которая увеличивается, двояко воздействует на величину потребления: она способствует росту выпуска продукции, и в то же время увеличивается количество продукции, которое требуется для возмещения выбытия капитала. Рисунок 2.4 демонстрирует, что существует единственный уровень капиталовооружённости k** - уровень Золотого правила, при котором душевое потребление достигает максимума.

Обозначим через с** потребление по Золотому правилу.

Рисунок 2.4 Устойчивый уровень потребления

Когда начальная капиталовооружённость является более высокой, чем в Золотом правиле, достижение устойчивого состояния с максимумом потребления, как правило, всегда сопровождается более высоким уровнем потребления. Когда же начальная капиталовооружённость ниже, чем по Золотому правилу, достижение устойчивого состояния требует незамедлительного снижения потребления в настоящем целью, повышения его в будущем10.

2.2 Рост населения

2.2.1 Устойчивый уровень капиталовооружённости при росте населения

Базовая модель Роберта Солоу демонстрирует нам, что процесс увеличения нормы сбережения и накопления капитала отражают лишь переход от одного состояния равновесия к другому. Поэтому для дальнейшего анализа модели экономического роста, поочерёдно снимем две предпосылки: отсутствие технологического процесса и неизменность численности населения и его занятой части. Сначала вводим фактор роста населения.

Предположим, что население увеличивается с постоянным темпом n. Это новый фактор, который вместе с инвестициями и выбытием влияет на капиталовооружённость: рост численности работников ведёт к сокращению капиталовооружённости каждого из них.

 

Поскольку k = K/L, то δk = 1/L(δK) – K/L2(δL)

Очевидно, что δK/L = i – δk, а K/L2 · δL = K/L · δL/L = k · n

Таким образом:

 

Δk = i – δk – nk

 

Инвестиции увеличивают k, а выбытие капитала и рост населения уменьшают её. Для того чтобы воспользоваться этим равенством, заменим i на sf(k) и получим:

 

Δk = sf(k) – (δ + n)k

 

Данное уравнение демонстрирует нам, что выбытие уменьшает k из-за сокращения запасов капитала, в то время как рост населения уменьшает k, из-за распределения капитала между большим количеством работающих.

Составляющую (δ + n)k можно рассматривать как критическую величину инвестиций – это инвестиции, которые необходимы для поддержания запаса капитала, который приходится на одного работника, на постоянном уровне.

На рисунке 2.5 продемонстрирована ситуация, которая отражается на рисунке 2.2, но усложнённая за счёт включения эффекта роста населения. Для того чтобы экономика была в устойчивом состоянии, инвестиции sf(k) должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения – (δ + n)k, что представлено на графике точкой пересечения двух кривых. Так, в точке

 

k* Δk = 0 и i* = δk* + nk*.

Рисунок 2.5 Рост населения в модели Солоу

2.2.2 Последствия роста населения

Рост населения дополняет исходную модель Солоу по трём направлениям11:

1. Он дает возможность приблизиться к выяснению причин экономического роста, потому как он объясняет непрерывный рост валового выпуска продукции.
2. Рост населения оказывает влияние на уровень накопления капитала по Золотому правилу. Потребление на одного работника равно с = y – i. Так как устойчивый объём производства – это f(k*), а инвестиции устойчивого состояния – это (δ + n)k*, то устойчивый уровень потребления можно определить как

 

c* = f(k*) – (δ + n)k*

 

3. Рост населения дает дополнительное объяснение того, почему некоторые страны богаты, а другие – бедны. На рисунке 2.6 продемонстрировано, что увеличение темпа прироста населения с n1 до n2 уменьшает капиталовооружённость устойчивого состояния с k1* до k2*. Если k* уменьшается, а y* = f(k*), то производительность y* тоже снижается.

 

Рисунок 2.6 Влияние роста населения

 

Так модель экономического роста Солоу может предсказывать, что страны с более высоким темпом роста населения имеют меньшую капиталовооружённость и, исходя из этого, более низкий уровень ВНП на душу населения.

2.3 Технологический прогресс

2.3.1 Устойчивый уровень капиталовооружённости при технологическом прогрессе

Теперь включим в модель Солоу технологический прогресс, который является третьим источником экономического роста. Для этого вспомним производственную функцию, которая записывалась так:

 

Y = F (K, L)

 

Запишем производственную функцию следующим образом:

 

Y = F(K, L×E),

 

где E – эффективность труда одного работника, зависящая от разных факторов, таких как: здоровье, образование и квалификация рабочей силы12.

Составляющая L×E представляет собой рабочую силу, которая измеряется в единицах труда с неизменной эффективностью. В соответствии с новой производственной функцией общий объём производства Y зависит от количества единиц капитала K и от числа эффективных единиц рабочей силы, то есть от L×E.

Самое простое допущение технологического прогресса является это прирост эффективности труда E с постоянным темпом g. К примеру, если g = 0,02, тогда отдача от каждой единицы труда увеличивается на 2 % в год: объём производства увеличивается словно если бы рабочая сила за год выросла на 2 %. Подобную форма технологического прогресса называют трудосберегающей, а g называют темпом трудосберегающего технологического прогресса13.

Так как рабочая сила L возрастает с темпом n, а отдача от каждой единицы труда E возрастает с темпом g, следовательно общее количество эффективных единиц труда L×E растёт с темпом n+g.

Пусть k = K/(L×E) это капитал на единицу труда с постоянной эффективностью, a y = Y/(L×E) это объём производства на единицу труда с постоянной эффективностью. Исходя из этого можно записать следующим образом: y = f(k).

Анализ экономики проводится по той же схеме, что и в случае с ростом населения. Уравнение, которое показывает изменение k с течением времени, теперь выглядит следующим образом:

 

Δk = sf(k) – (δ + n +g)k

 

Если величина g велика, то общее количество единиц труда с постоянной эффективностью, увеличивается с большой скоростью, а прирост капитала на такую единицу труда относительно мал и имеет возможность стать отрицательным.

На рисунке 2.7 продемонстрировано: имеется один уровень k*, при котором капитал и выпуск на единицу труда неизменны.

Такое устойчивое состояние представляет собой долгосрочное равновесие экономики.

 

Рисунок 2.7 Технологический прогресс

 

При устойчивом состоянии экономики инвестиции sf(k) в точности взаимозаменяют уменьшение k вследствие выбытия, технологического прогресса и оста населения.

2.3.2 Последствия технологического прогресса

Характеристики изменения некоторых переменных модели экономического роста Солоу с учётом технологического прогресса можно увидеть в таблице 2.114.

 

Таблица 2.1 Устойчивый рост в модели Солоу с учётом технологического прогресса

Переменные	Обозначения	Темп прироста
Капитал на единицу труда с постоянной эффективностью	k = K/( L×E)	0
Объём производства на единицу труда с постоянной эффективностью	y = Y/ (L×E) = = f(k)	0
Объём производства на одного работника	Y/L = y×E	g
Общий объём производства	Y = y(L×E)	n + g

 

Исходя из этого, с учётом технологического прогресса, модель экономического роста Солоу может объяснить, по каким причинам уровень жизни растёт из года в год. Технологический прогресс имеет возможность поддерживать непрерывный рост выпуска продукции на одного работника, в то время как высокий уровень сбережений приводит к высокой скорости роста только до момента достижения устойчивого состояния. Как только экономика его достигает, темп роста производства на одного работника зависит лишь от скорости технологического прогресса.

Модель экономического роста Солоу демонстрирует, что только технологический прогресс объясняет постоянно растущий уровень жизни.

Введение в модель технологического прогресса также изменяет условия выполнения Золотого правила. Золотое правило для накопления капитала дает определение устойчивому уровню, при котором потребление на единицу труда с постоянной эффективностью достигает максимума. Исходя из этого можно выразить этот уровень следующим образом:

 

c* = f(k*) – (δ + n + g)k*

 

Устойчивый уровень потребления максимизируется, если:

 

MPK = δ + n + g,

MPK – δ = n + g

 

Так как в настоящих условиях на экономику воздействует как рост населения, так и технологический прогресс, очень важно использовать это условие для определения избытка или недостатка капитала по сравнению с устойчивым состоянием по Золотому правилу.

Вот так, в модели экономического роста Солоу объясняется механизм непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов.

 

 

Глава 3. Практическое применение модели Солоу

Взаимосвязь разных источников экономического роста в модели экономического роста Солоу раскрыта. Именно поэтому можно приступить к проведению анализа экономической политики по этому вопросу.

Если национальная норма сбережений находится на низком уровне, то государство может привести её к увеличению двумя путями: непосредственно, через увеличение государственных сбережений и косвенно – через стимулирование увеличения частных сбережений15.

Затрагивая тему о практическом применении модели экономиеского роста Солоу, необходимо также отметить, что многие меры государственной политики направлены на стимулирование технологического прогресса путём стимулирования научных исследований. К примеру, закон о налогах дает льготы научно-исследовательским организациям, патентная система предоставляет временную монополию изобретателю нового продукта и тому подобное.

С помощью модели экономического роста Солоу возможно решить вопрос о недостатке или избытке капитала в экономике России. При этом необходимо брать во внимание два периода: 1992-1998 годы и 1999-2003 годы (периоды спада и роста).

Функция Кобба-Дугласа 1992-1998 годах выглядит так:

 

 

Коэффициент 2.362 говорит о том, что рост заработной платы сильно отставал от роста экономики, экономика все больше эксплуатировала труд. Спад производился за счет остатка Солоу (-2,07), то есть неидентифицируемых факторов. На долю прироста капитала приходилось 7,4% роста ВВП.

С учетом чистого экспорта модель принимает следующий вид:

 

 

Далее определяем количество капитала в экономике, для этого необходимо просчитать чистый предельный продукт капитала и сравнить его с темпами роста ВВП (приложение 2).

Как видно, избыток капитала наблюдался только в 1997 году. Экономика в то время, находилась в состоянии оторое было намного ниже золотого правила модели экономического роста Солоу. В таких случаях необходима экономическая политика, направленная на рост нормы инвестиций и сбережений.

Далее рассмотрим вклад в ВВП расходов на социально-культурные мероприятия.

 

 

Из данного уравнения можно увидеть, что расходы на социально-культурные мероприятия положительно связаны с экономическим ростом. Именно поэтому это достаточно удобный объект вложения государственных расходов в условиях, когда экономика страдает от недостатка капитала.

Далее повторим процедуры для периода 1999-2003 гг.