Моделирование теплового поля

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

 Лист

 

НГТУ РКС10 – 92

Бадаев Е.В.

Девятков Г.Н.

 

Содержание:

 

1. Задание……………………………………………………………………………………3
1. Исходные данные……………………………………………………………3
2. Постановка задачи…………………………………………………………..3
3. Формализация задачи………………………………………………………..3
4. Условия задачи………………………………………………………………4
5. Алгоритм численного решения и его описание…………………………..4
2. Расчетная часть………………………………………………………………………….6
3. Заключение………………………………………………………………………………9
4. Список используемой литературы…………………………………………………….10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задание

 

1. Исходные данные

Метод решения задачи	Метод явных разностных схем
, с	5
Длина стержня  , м	9
,°С	100
,°С	20
С, МДж/м³К	2.4
К, Дж/мКс	200

 

-температура окружающей среды,  материал стержня алюминий (коэффициент  теплоёмкости С=2,4 МДж/м³К, теплопроводимости К=200Дж/мКс).

 

2. Постановка задачи:

Рассмотрим однородный стержень длиной L, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом (рис.1). В момент времени к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Считаем что мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении. Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных или неявных разностных схем, определив температурный профиль по длине   стержня в заданный момент времени .

L

Рис.1. Однородный стержень

 

 

 

 

3. Формализация задачи

Данная задача  является одномерной, так как по условию отвод тепла  происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, т.е. тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем (Рис.2), запишем уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времени τ:

 

h_x

 

  Рис. 2. Элементарный объем.

J_x⁺

J_x^-

 

 

 

    ,        (1)

где J_x⁺ , J_x^-   - удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

       h_x           - длина элементарного объема;

       θ_i^s+1- θ_i^s  - приращение температуры элементарного объема i за время τ;

       S             -номер шага по времени (номер временного слоя).

Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье уравнение (1) можно записать, выразив соответствующие  потоки J_x⁺ , J_x^- через разности температур соседних объемов, в явной форме:

,           (2)

Уравнение (2) содержит одну неизвестную  .

 

4. Условия задачи

Граничные условия задачи

 

Считаем, что в любой момент времени  температура свободного конца стержня равна θ₁, а закрепленного в теплоотводе θ_ср (рис.3).

 

Начальные условия задачи

 

Будем считать, что в момент времени  температура во всех внутренних узлах модели равна θ_ср(рис.3).

 

5. Алгоритм численного решения и его описание

Уравнение (2) преобразуется относительно единственной неизвестной  :

,     (4)

Соответствующая разностному уравнению (4) форма расчётной ячейки показана на рис.3. Расчётная ячейка позволяет  наглядно представить, значения температур каких узлов следует подставлять в уравнение (4) при вычислении неизвестной . Для простоты принимаем . Так как граничные и начальные значения нам не известны, то, передвигая ячейку из одного крайнего положения в другое по оси Х, можно определить значения на неизвестном временном слое S+1.

 

Рис. 3. Форма расчетной ячейки в  случае неявной разностной схемы  и ее начальное положение в  момент времени t=t₀.

 

Схема алгоритма  решения задачи показана на рис. 4:

Рис. 4. Схема алгоритма  решения задачи с помощью явной разностной схемы

 

 

 

 

 

2. Расчетная часть.

Прежде, чем проводить вычисления, выберем  шаги

и по координатам.

Параметр  для явных разностных схем выбирают из условия устойчивости вычислительного процесса, которое легко получить, исследуя уравнение (4) с помощью спектрального признака устойчивости:

        (5)

Параметр нужно выбирать из условия заданной точности решения. Возьмём по длине стержня 8 узлов (рис.3),  и мы получим приемлемую точность:

м

 

Чтобы попасть  в заданный момент времени τ = 5с, выберем

и подставим в уравнение (4):

 

Найдем количество временных  слоев:

 

В итоге получаем таблицу ответов:

 

Счетчик циклов
L	S
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	Вычисления
	100	100	100	100	100	100	100	100	100
	20	57.61	59.857	68.304	69.802	73.655	74.77	76.999	77.876
	20	20	37.681	39.794	47.799	49.683	54.281	55.863	58.863
	20	20	20	28.312	29.802	35.492	37.156	41.108	42.677
	20	20	20	20	23.908	24.842	28.436	29.691	32.625
	20	20	20	20	20	21.837	22.386	24.515	25.378
	20	20	20	20	20	20	20.864	21.173	22.383
	20	20	20	20	20	20	20	20.406	20.576
	20	20	20	20	20	20	20	20	20

На основании  расчётов построим график температурного профиля по длине стержня в момент времени .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем численное  значение

так, чтобы условие устойчивости было нарушено:

 

Выберем

и подставим в уравнение (4):

 

 

В итоге получаем таблицу ответов:

 

Счетчик циклов
L	S
	0	1	2	3	4	5
	Вычисления
	100	100	100	100	100	100
	20	72.675	55.984	84.109	60.724	94.814
	20	20	54.683	32.703	73.223	30.692
	20	20	20	42.837	21.128	64.587
	20	20	20	20	35.036	15.978
	20	20	20	20	20	29.901
	20	20	20	20	20	20
	20	20	20	20	20	20
	20	20	20	20	20	20

 

На основании  расчётов построим график температурного профиля по длине стержня в момент времени .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При (нарушении условия устойчивости) наблюдаем неравномерное распределение температур в разные моменты времени по всей длине стержня, а также появляются температуры меньше 20 , что недопустимо. Таким образом, таблица ответов неверна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Заключение
1. Метод решения задачи теплопроводности является достаточно универсальным, в задаче можно задавать любые начальные и граничные условия.
2. В процессе решения получается полная картина распределения температуры по всей области стержня.
3. Имеется возможность моделирования решения на персональном компьютере с последующим дополнением и усложнением модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Маквецов Е.Н. Модели из кубиков – М.: Сов.радио, 1978, с.52-62,181-184.

 

2. Девятков Г.Н. Автоматизацияконструирования РЭА (Контрольные задания, курсовая работа для студентовIV курса радиотехнического факультета (специальность 0705) заочного отделения). - Новосибирский электротехнический институт, 1984 г.